コブ=ダグラス型生産関数の導出方法・求め方

コブ=ダグラス型の生産関数について、数学的な導出方法・求め方を説明します。

概要

 生産関数を特定化した場合の1つとして、コブ=ダグラス(Cob-Douglas)型生産関数があります。

 産出量を Y 、技術力を A 、資本を K 、労働力を L としたとき、次のようなものです。

  Y = A K^{\alpha} L^{\beta}

 いくつかある生産関数の1つであり、対数をとれば、線形化できるなど、便利な生産関数です。
 (他の生産関数については「経済学における生産関数の種類」を参考にしてください)

 1つの独立した生産関数とも言えますが、他の生産関数との関係を考えたとき、CES型生産関数から、このコブ=ダグラス型生産関数を導出できます。

 ここでは、この導出方法・求め方を解説します。

導出方法

 まず、代替の弾力性を \rho とすると、CES型生産関数は、次のようになります。

  Y = A [\alpha K^{-\rho} + \beta L^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}}

 コブ=ダグラス型生産関数は、このCES型生産関数において、\rho=0 の場合です。

 この式の対数をとると、

  \ln Y = \ln A - \dfrac{\ln[\alpha K^{-\rho} + \beta L^{-\rho}]}{\rho}

となります。

 ここで右辺第2項がややこしいので、この部分をいったん次のように定義します。

  E = -\dfrac{\ln[\alpha K^{-\rho} + \beta L^{-\rho}]}{\rho} \qquad \cdots \qquad (1)

 そうすると、上記の式は、

  \ln Y = \ln A + E \qquad \cdots \qquad (2)

となります。

 ここで (1) 式のE について考えると、\rho=0 のときには、右辺第2項の分母は0になってしまいます。
 そこで、この式について、ロピタルの定理を使うと、

  E = - \left[ \alpha \dfrac{dK^{-\rho}}{d \rho} + \beta \dfrac{dL^{-\rho}}{d \rho} \right] \div \left[ \alpha K^{-\rho} + \beta L^{-\rho} \right] \qquad \cdots \qquad (3)

となります。

ロピタルの定理
\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \lim_{x\rightarrow a} g(x) のとき、\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f'(x)/g'(x) が存在すれば、

  \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}

が成立する。

 ところで、

  \dfrac{d K^{-\rho}}{d \rho} = - K^{-\rho} \ln K \quad , \quad \dfrac{d L^{-\rho}}{d \rho} = - L^{-\rho} \ln L \qquad \cdots \qquad (4)

が成立します。

 z=x^{-\rho} を定義し、対数をとると、\ln z = -\rho \ln x となります。
 これを \rho で微分すると、

 \dfrac{d \ln z}{d \rho} = \dfrac{1}{z}\dfrac{d z}{d \rho} = - \ln x

であり、

 \dfrac{d x^{-\rho}}{d \rho} = - z \ln x = - x^{-\rho} \ln x

となります。これを K \, , L で置き換えれば、上記の式が得られます。

 そこで、(4) 式を (3) 式に代入すると、

  E = \dfrac{\alpha K^{-\rho} \ln K + \beta L^{-\rho} \ln L}{\alpha K^{-\rho} + \beta L^{-\rho}}

が得られ、\rho = 0 から、

  E = \alpha \ln K + \beta \ln L

となります。

 これを (2) 式に使うと、

  \ln Y = \ln A + \alpha \ln K + \beta \ln L

となり、対数を戻すと、コブ=ダグラス型生産関数が得られます。

  Y = A K^{\alpha} L^{\beta}

まとめ

 正直、ロピタルの定理を使ったり、途中の式変形がややこしいです。

 ただ導出方法は別として、少なくとも、コブ=ダグラス型生産関数は、CES型生産関数における代替の弾力性が \rho=0 の場合ということは覚えておく必要があります。

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