$Y$を生産量、$K$を資本、$L$を労働力としたとき、次のようなコブ=ダグラス型生産関数があるとする。
$Y = K^\alpha L^\beta$
※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。
【問題１】
$\alpha + \beta = 1$のとき、この生産関数は規模に関して収穫一定であるか。
【回答１】
規模に関して収穫一定であるかどうかは、同次関数を考えたとき、1次同次であるかどうかである。
k次同次のコブ=ダグラス型生産関数は、次式のようになる。
$\lambda^k Y = (\lambda K)^\alpha (\lambda L)^\beta = \lambda^{\alpha + \beta} K^\alpha L^\beta = \lambda^{\alpha + \beta} Y$
この式から、コブ=ダグラス型生産関数では、
$k = \alpha + \beta \quad \cdots \quad (*)$
が成り立つことになる、
$\alpha + \beta = 1$ならば、$k=1$なので、このときには、規模に関して収穫一定である。
【問題２】
$\alpha + \beta > 1$のとき、この生産関数は規模に関して収穫逓増であるか、収穫逓減であるか。
【回答２】
k次同次関数において、
$k > 1$のとき、収穫逓増
$k < 1$のとき、収穫逓減
である。
問題１の回答において、$(*)$式を考えると、$\alpha + \beta > 1$のときには、$k > 1$であり、収穫逓増である。
【問題３】
$\alpha + \beta < 1$のとき、この生産関数は規模に関して収穫逓増であるか、収穫逓減であるか。
【回答３】
問題２とは逆で、問題１の回答において、$(*)$式を考えると、$\alpha + \beta < 1$のときには、$k > 1$であり、収穫逓減である。
※コブ=ダグラス型生産関数については、次も見てください。