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コブ=ダグラス型生産関数に関する規模の経済の問題

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問題ミクロ経済学初級
経済学におけるコブ=ダグラス型生産関数に関する規模の経済の問題です。
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 $Y$を生産量、$K$を資本、$L$を労働力としたとき、次のようなコブ=ダグラス型生産関数があるとする。

  $Y = K^\alpha L^\beta$

※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。

【問題1】
 $\alpha + \beta = 1$のとき、この生産関数は規模に関して収穫一定であるか。

【回答1】 

 規模に関して収穫一定であるかどうかは、同次関数を考えたとき、1次同次であるかどうかである。

 k次同次のコブ=ダグラス型生産関数は、次式のようになる。

  $\lambda^k Y = (\lambda K)^\alpha (\lambda L)^\beta = \lambda^{\alpha + \beta} K^\alpha L^\beta = \lambda^{\alpha + \beta} Y$

 この式から、コブ=ダグラス型生産関数では、

  $k = \alpha + \beta \quad \cdots \quad (*)$

が成り立つことになる、

 $\alpha + \beta = 1$ならば、$k=1$なので、このときには、規模に関して収穫一定である。

【問題2】
 $\alpha + \beta > 1$のとき、この生産関数は規模に関して収穫逓増であるか、収穫逓減であるか。

【回答2】 

 k次同次関数において、

  $k > 1$のとき、収穫逓増

  $k < 1$のとき、収穫逓減

である。

 問題1の回答において、$(*)$式を考えると、$\alpha + \beta > 1$のときには、$k > 1$であり、収穫逓増である。

【問題3】
 $\alpha + \beta < 1$のとき、この生産関数は規模に関して収穫逓増であるか、収穫逓減であるか。

【回答3】 

 問題2とは逆で、問題1の回答において、$(*)$式を考えると、$\alpha + \beta < 1$のときには、$k > 1$であり、収穫逓減である。

※コブ=ダグラス型生産関数については、次も見てください。

  コブ=ダグラス型生産関数について、分かりやすく解説します

  コブ=ダグラス型生産関数の導出方法・求め方

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