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ソロー・モデルを解説(数式あり)

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概要

 成長理論の基本として、まず挙げられるのが「ソロー・モデル」(Solow Model)です。
 数学を使うとは言え、高度なものではなく、経済成長について、1つのベーシックな考え方を教えてくれるモデルとなっています。

 そこで、このソロー・モデルについて、説明したいと思います。

モデル

生産関数

 まず、ソローモデルにおいては、労働力 L_t、資本 K_t を用いて、産出量 Y_t が生産されるとします。このとき、生産関数として、収穫的低減を仮定し、次のように定義します。

  Y_t = F(L_t \, ,\, K_t)

このとき、生産量は、労働力 L_t、資本 K_t がどうなるかで決まることになるのですが、この生産関数 F は一次同次とします(ここが一つのポイントです)。

 1人あたりの生産量 y_t = Y_t / L_t 、1人あたりの資本 k_t = K_t / L_t とすると、上記の式は、1次同次から、次のようになります。

  \displaystyle y_t = \frac{Y_t}{L_t} = \frac{F(L_t \, ,\, K_t)}{L_t} = F(1 \, ,\, k_t)

 このことから、1人あたりの生産量 y_t は、1人あたりの資本 k_t だけの関数になるので、次のような式を得ることができます。
(なお、生産関数については、定数が混じっているので、F(1 , k_t) = f(k_t)と置き換えています)

  y_t = f(k_t) \quad \cdots \quad (1)

 この式のポイントは、1人あたりの生産量 y_t は、1人あたりの資本 k_t で決まるということです。

労働力

 労働力 L_t については、一定の増加率 n で増加するとすると、次のようになります。

  \displaystyle \frac{\dot{L_t}}{L_t} \, = \, n \quad \cdots \quad (2)

 なお、\dot{L_t} のドットは、時間微分した増加量を表します。

資本

 このモデルにおいては、生産量はすべて消費と貯蓄に回るものとし、生産量に対する貯蓄率を s とすると、貯蓄は s Y_t と表すことができます。

 そしてこの貯蓄は、すべて投資 $I_t$ に回るとすると、

  I_t = s Y_t \quad \cdots \quad (3)

となります。

 他方、一定の率 \delta で資本は減耗するとしたとき、資本の増加額 dot{K_t} は、投資額 I_t に資本の減耗額 \delta K_t を引いたものになるので、次のように表すことができます。

  \dot{K_t} = I_t - \delta K_t

 このとき、(2) 式を使うと、

  \dot{K_t} = s Y_t - \delta K_t \cdots \quad (4)

1人当たり資本増加額

 ここで、1人当たり資本 k_t の増加率 \dot{k_t}/k_tを考えると、

  \displaystyle \frac{\dot{k_t}}{k_t} = \frac{\dot{K_t}}{K_t} - \frac{\dot{L_t}}{L_t}

となるので、(2)(4) 式を使うと、

  \displaystyle \frac{\dot{k_t}}{k_t} = \dfrac{s Y_t}{K_t} - \delta - n

であり、Y_t / K_t = F(L_t,K_t) / K_t = f(k_t) / k_t が成立するので、

  \displaystyle \frac{\dot{k_t}}{k_t} = \dfrac{s f(k_t)}{k_t} - \delta - n

を得ることができます。

 更に変形すると、

  \dot{k_t} = s f(k_t) - (\delta + n) k_t  \cdots \quad (5)

となります。

 そして、(1) 式から、1人当たり生産量 $y_t$は、1人当たり資本 k_t で決まるので、この式から、1人当たり生産量 y_tは、貯蓄率 s 、1人当たり資本の水準 k_t、資本減耗率 \delta、労働力増加率 n で決定することが分かります。

インプリケーション

資本の変化

 貯蓄率 s 、資本減耗率 \delta、労働力増加率 n は置いておいて、まずは、k_t について考えましょう。

 このとき、(5) 式で、第1項のf(k_t) は収穫逓減なので、k_t が小さいほど、sf(k_t)の値は大きくなります。他方、第2項では、- (\delta + n) k_t となっていることから、k_t が小さいほど、マイナスは小さくなります。このことから、1人当たり資本 k_t が小さいときは、(5) 式は、

  \dot{k_t} = s f(k_t) - (\delta + n) k_t  \textgreater 0

となり、1人当たり資本 k_t は増加します。

 逆に、k_t が大きいと、第1項のf(k_t) は小さくなり、第2項では、- (\delta + n) k_tのマイナスは大きくなり、1人当たり資本 k_t は減少することになります。

 つまり、次のことが(5) 式から、言えます。

  資本が小さいとき ⇒ 資本は増加
  資本が大きいとき ⇒ 資本は減少

定常状態

 そして、このモデルにおいては、上記のような資本の調整過程が生じ、最終的には、資本は増減しない一定の状態になるとされます(これを「定常状態」)。

 定常状態においては、\dot{k_t}=0 になり、このときの1人当たり資本をk^{\ast} とすると、$latex(5)$ 式は、次のようになります。

  s f(k^{\ast}) - (\delta + n) k^{\ast} = 0  \quad \cdots \quad (6)

貯蓄率の影響

 次に、貯蓄率について考えると、(5)(6) 式から、貯蓄率が大きくなると、1人当たり資本の増加額、定常状態の1人当たり資本が大きくなることが分かります。

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マクロ経済学
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Econome
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