スポンサーリンク
投稿マクロ経済学中級

ソロー・モデルを解説(数式あり)

スポンサーリンク
成長理論の基本と言えば、「ソロー・モデル」です。このソロー・モデルについて、数式入りで説明したいと思います。
スポンサーリンク
スポンサーリンク
スポンサーリンク

概要

 成長理論の基本として、まず挙げられるのが「ソロー・モデル」(Solow Model)です。
 数学を使うとは言え、高度なものではなく、経済成長について、1つのベーシックな考え方を教えてくれるモデルとなっています。

 そこで、このソロー・モデルについて、数式を交えて、説明したいと思います。
 (数式計算の前に、基本的な考えを知りたい方は、「ソロー・モデルの意味合いを、式計算なしで導出・説明します」もご覧ください)

モデル

生産関数

 まず、ソローモデルにおいては、労働力 $ L_t$、資本 $ K_t$ を用いて、産出量 $ Y_t$ が生産されるとします。このとき、生産関数として、収穫的低減を仮定し、次のように定義します。

  $ Y_t = F(L_t \, ,\, K_t)$

このとき、生産量は、労働力 $ L_t$、資本 $ K_t$ がどうなるかで決まることになるのですが、この生産関数 $ F$ は一次同次とします(ここが一つのポイントです)。

 1人あたりの生産量 $ y_t = Y_t / L_t$ 、1人あたりの資本 $ k_t = K_t / L_t$ とすると、上記の式は、1次同次から、次のようになります。

  $ \displaystyle y_t = \frac{Y_t}{L_t} = \frac{F(L_t \, ,\, K_t)}{L_t} = F(1 \, ,\, k_t)$

 このことから、1人あたりの生産量 $ y_t$ は、1人あたりの資本 $ k_t$ だけの関数になるので、次のような式を得ることができます。
(なお、生産関数については、定数が混じっているので、$ F(1 , k_t) = f(k_t)$と置き換えています)

  $ y_t = f(k_t) \quad \cdots \quad (1)$

 この式のポイントは、1人あたりの生産量 $ y_t$ は、1人あたりの資本 $ k_t$ で決まるということです。

労働力

 労働力 $ L_t$ については、一定の増加率 $ n$ で増加するとすると、次のようになります。

  $ \displaystyle \frac{\dot{L_t}}{L_t} \, = \, n \quad \cdots \quad (2)$

 なお、$ \dot{L_t}$ のドットは、時間微分した増加量を表します。

資本

 このモデルにおいては、生産量はすべて消費と貯蓄に回るものとし、生産量に対する貯蓄率を $ s$ とすると、貯蓄は $ s Y_t$ と表すことができます。

 そしてこの貯蓄は、すべて投資 $ I_t$ に回るとすると、

  $ I_t = s Y_t \quad \cdots \quad (3)$

となります。

 他方、一定の率 $ \delta$ で資本は減耗するとしたとき、資本の増加額 $ \dot{K_t}$ は、投資額 $ I_t$ に資本の減耗額 $ \delta K_t$ を引いたものになるので、次のように表すことができます。

  $ \dot{K_t} = I_t – \delta K_t$

 このとき、$ (2)$ 式を使うと、

  $ \dot{K_t} = s Y_t – \delta K_t \cdots \quad (4)$

1人当たり資本増加額

 ここで、1人当たり資本 $ k_t$ の増加率 $ \dot{k_t}/k_t$を考えると、

  $ \displaystyle \frac{\dot{k_t}}{k_t} = \frac{\dot{K_t}}{K_t} – \frac{\dot{L_t}}{L_t}$

となるので、$ (2)(4)$ 式を使うと、

  $ \displaystyle \frac{\dot{k_t}}{k_t} = \dfrac{s Y_t}{K_t} – \delta – n$

であり、$ Y_t / K_t = F(L_t,K_t) / K_t = f(k_t) / k_t$ が成立するので、

  $ \displaystyle \frac{\dot{k_t}}{k_t} = \dfrac{s f(k_t)}{k_t} – \delta – n$

を得ることができます。

 更に変形すると、

  $ \dot{k_t} = s f(k_t) – (\delta + n) k_t \cdots \quad (5)$

となります。

 そして、$ (1)$ 式から、1人当たり生産量 $ y_t$は、1人当たり資本 $ k_t$ で決まるので、この式から、1人当たり生産量 $ y_t$は、貯蓄率 $ s$ 、1人当たり資本の水準 $ k_t$、資本減耗率 $ \delta$、労働力増加率 $ n$ で決定することが分かります。

インプリケーション

資本の変化

 貯蓄率 $ s$ 、資本減耗率 $ \delta$、労働力増加率 $ n$ は置いておいて、まずは、$ k_t$ について考えましょう。

 このとき、$ (5)$ 式で、第1項の$ f(k_t)$ は収穫逓減なので、$ k_t$ が小さいほど、$ sf(k_t)$の値は大きくなります。他方、第2項では、$ – (\delta + n) k_t$ となっていることから、$ k_t$ が小さいほど、マイナスは小さくなります。このことから、1人当たり資本 $ k_t$ が小さいときは、$ (5)$ 式は、

  $ \dot{k_t} = s f(k_t) – (\delta + n) k_t \gt 0$

となり、1人当たり資本 $ k_t$ は増加します。

 逆に、$ k_t$ が大きいと、第1項の$ f(k_t)$ は小さくなり、第2項では、$ – (\delta + n) k_t$のマイナスは大きくなり、1人当たり資本 $ k_t$ は減少することになります。

 つまり、次のことが$ (5)$ 式から、言えます。

  資本が小さいとき ⇒ 資本は増加
  資本が大きいとき ⇒ 資本は減少

定常状態

 そして、このモデルにおいては、上記のような資本の調整過程が生じ、最終的には、資本は増減しない一定の状態になるとされます(これを「定常状態」)。

 定常状態においては、$ \dot{k_t}=0$ になり、このときの1人当たり資本を$ k^{\ast}$ とすると、$(5)$ 式は、次のようになります。

  $ s f(k^{\ast}) – (\delta + n) k^{\ast} = 0 \quad \cdots \quad (6)$

貯蓄率の影響

 次に、貯蓄率について考えると、$ (5)(6)$ 式から、貯蓄率が大きくなると、1人当たり資本の増加額、定常状態の1人当たり資本が大きくなることが分かります。

スポンサーリンク
タイトルとURLをコピーしました