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投稿金融論中級

72の法則についてその導出を含め説明します

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72の法則について、どのようなものか、どうしたら導出できるのかについて、説明します。
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概要

 「72の法則」とは、ある金利(複利)のとき、元本が倍になるような年数を簡単に計算できる法則です。

 式としては、次のようなものになります。

  年数(年) = 72 ÷ 金利(%)

 例えば、金利が5%のときには、次のように、14.4年で元本が2倍になります。

  72 ÷ 5 = 14.4年

 また、金利が2%のときには、次のように、36年で元本が2倍になるとされます。

  72 ÷ 2 = 36年

 なお、ここで72という数字が使われていますが、代わりに70を使って、「70の法則」と言われたりもします。

実際の数値との比較

 そしたら、実際にこの法則と数値がどれだけあっているのでしょうか。
 計算すると、例えば、次のような数値になります。

金利72の法則実際の計算値
1%
72.0年
69.7年
2%
36.0年
35.0年
3%
24.0年
23.4年
5%
14.4年
14.2年
10%
7.2年
7.3年

 必ずしも一致しているわけではありませんが、おおよそ近い数値であることが分かります。

導出方法

 なぜ、このような法則が出てくるのでしょうか。
 数学的に導出方法を説明します。

導出方法1

 元本を $A$ 、金利を $r$ 、年数を $n$ 、$n$年後の元本の倍数を $b$ とすると、

  $b A = (1+r/100)^n A$

が成立します。
 $A$ はキャンセルでき、対数化すると、次式が得られます。

  $\ln b = n \ln (1+r/100)$

 そして、対数部分に関して級数展開をすると、

  $\ln b = n \cdot \left[ r/100 \; – \; \dfrac{(r/100)^2}{2} \, + \, \dfrac{(r/100)^3}{3} \; – \; \dfrac{(r/100)^4}{4} \, + \, \cdots \right]$

となります(対数の級数展開については「対数の近似式について」を参照してください)。

 $(r/100)^2/2$ 以下の数値には非常に小さいので、省略すると、次のような近似式が得られます。

  $\ln b \simeq n \cdot r/100 $

 そして、これを式変形すると、次式が成立します。

  $n = 100 \times \dfrac{\ln b}{r} \qquad \cdots \qquad (1)$

 2倍になるときには、$ b=2$ なので、$ ln \; 2= 0.69314$ から、

  $n = 100 \times \dfrac{0.69314}{r} = \dfrac{69.314}{r}$

となり、69に近いような数値を金利 $r$ で割れば、$n$ 年で2倍になることが分かります。

 このとき、69ではややこしいので、70という数字を使って「70の法則」と言われたり、3で割りやすいように72という数字を使って「72の法則」と言われたりすることになります。

導出方法2

 連続時間の複利計算においては、次のような式があります($R$は少数表示の金利)。
 (この式について知りたければ、「連続時間の複利計算の式と導出方法」を見てください)

  $b = e^{Rn}$

 ここで、$R=r/100$であり、この式を対数化すると、

  $\ln b = (r/100)n$

となり、$(1)$式を導出することができます。

他の法則

 $(1)$ 式を使えば、2倍になるような「72の法則」だけではなく、5倍になるような法則、10倍になるような法則が得られます(法則の部分について、近しい数値でもっともらしく述べています)。

倍数$ \ln b$法則
1.5倍
0.40546
40の法則
2倍
0.69314
70の法則
3倍
1.09861
110の法則
5倍
1.60944
160の法則
10倍
2.30258
230の法則

 例えば、40の法則を使えば、金利が5%のときには、おおよそ8年で1.5倍になることが分かります。

  40 ÷ 5 = 8年

まとめ

 少々数学的でしたが、いかがでしたでしょうか。

 72の法則自体、分かりやすく便利な部分もあるので、覚えておいてもいいと思います。

 また、2倍では使いずらいという方は、上記の式のもと、自分だけの法則を考えてもいいかもしれません。

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