72の法則についてその導出を含め説明します

　「72の法則」とは、ある金利（複利）のとき、元本が倍になるような年数を簡単に計算できる法則です。

　式としては、次のようなものになります。

　　年数（年）　＝　72　÷　金利（%）

　例えば、金利が5%のときには、次のように、14.4年で元本が2倍になります。

　　72　÷　5　=　14.4年

　また、金利が2%のときには、次のように、36年で元本が2倍になるとされます。

　　72　÷　2　=　36年

　なお、ここで72という数字が使われていますが、代わりに70を使って、「70の法則」と言われたりもします。

　そしたら、実際にこの法則と数値がどれだけあっているのでしょうか。
　計算すると、例えば、次のような数値になります。

　必ずしも一致しているわけではありませんが、おおよそ近い数値であることが分かります。

　なぜ、このような法則が出てくるのでしょうか。
　数学的に導出方法を説明します。

　元本を $A$ 、金利を $r$ 、年数を $n$ 、$n$年後の元本の倍数を $b$ とすると、

　　$b A = (1+r/100)^n A$

が成立します。
　$A$ はキャンセルでき、対数化すると、次式が得られます。

　　$\ln b = n \ln (1+r/100)$

　そして、対数部分に関して級数展開をすると、

　　$\ln b = n \cdot \left[ r/100 \; – \; \dfrac{(r/100)^2}{2} \, + \, \dfrac{(r/100)^3}{3} \; – \; \dfrac{(r/100)^4}{4} \, + \, \cdots \right]$

となります（対数の級数展開については「対数の近似式について」を参照してください）。

　$(r/100)^2/2$ 以下の数値には非常に小さいので、省略すると、次のような近似式が得られます。

　　$\ln b \simeq n \cdot r/100 $

　そして、これを式変形すると、次式が成立します。

　　$n = 100 \times \dfrac{\ln b}{r} \qquad \cdots \qquad (1)$

　2倍になるときには、$ b=2$ なので、$ ln \; 2= 0.69314$ から、

　　$n = 100 \times \dfrac{0.69314}{r} = \dfrac{69.314}{r}$

となり、69に近いような数値を金利 $r$ で割れば、$n$ 年で2倍になることが分かります。

　このとき、69ではややこしいので、70という数字を使って「70の法則」と言われたり、3で割りやすいように72という数字を使って「72の法則」と言われたりすることになります。

　連続時間の複利計算においては、次のような式があります（$R$は少数表示の金利）。
　（この式について知りたければ、「連続時間の複利計算の式と導出方法」を見てください）

　　$b = e^{Rn}$

　ここで、$R=r/100$であり、この式を対数化すると、

　　$\ln b = (r/100)n$

となり、$(1)$式を導出することができます。

　$(1)$ 式を使えば、2倍になるような「72の法則」だけではなく、5倍になるような法則、10倍になるような法則が得られます（法則の部分について、近しい数値でもっともらしく述べています）。

　例えば、40の法則を使えば、金利が5%のときには、おおよそ8年で1.5倍になることが分かります。

　　40　÷　5　=　8年

　少々数学的でしたが、いかがでしたでしょうか。

　72の法則自体、分かりやすく便利な部分もあるので、覚えておいてもいいと思います。

　また、2倍では使いずらいという方は、上記の式のもと、自分だけの法則を考えてもいいかもしれません。