概要
生産関数といっても、様々なものがあります。
そこで、経済学で使われる生産関数について、まとめてみました。
なお、分かりやすくするため、生産要素としては、資本 $ K$ と労働 $ L$ の2つだけとします。
①一般形
一般的な生産関数で、生産関数 $ f$ は特定化されていません。
$ Y = f(K, L)$
②コブダグラス型生産関数（Cobb-Douglas production function）
マクロ経済学でよく使われる生産関数です（なお、$ A$は技術進歩を表します）
$ Y = A K^{\alpha} L^{\beta} $
③線形生産関数（Linear produciton function）
言葉の通り、線形の生産関数です。
$ Y = a K + b L$
④レオンチェフ型生産関数（Leontief production function）
最小値の法則に基づいた生産関数です。
$ Y = min \{aK, bL \}$
⑤CES型生産関数（Constant Elasticity of Substitution production function）
名前の通り、限界代替率が一定の生産関数です（ここでは、$ \sigma$ ）。
$ Y = [a K^{\sigma} + b L^{\sigma} ]^{\frac{1}{\sigma}} $
特定化された生産関数ですが、コブダグラス型生産関数やレオンチェフ型生産関数などを含む生産関数です。
限界代替率 $ \sigma$ によって、CES型生産関数は、次のようになります。
$ \sigma \rightarrow 1$ のとき、$ Y = a K + b L$（線形生産関数）
$ \sigma \rightarrow 0$ のとき、$ Y = K^{a} L^{b}$（コブダグラス型生産関数）
$ \sigma \rightarrow -\infty$ のとき、$ Y = min \{aK, bL\}$（レオンチェフ型生産関数）
⑥トランスログ型生産関数（Translog production function）
一般形をテーラー展開して得られる生産関数です。
実証などでよく使われる生産関数です。
$ \ln Y = a_0 + a_1 \, \ln K + a_2 \, \ln L + \dfrac{1}{2} \, a_{11} \, (\ln K)^2 + \dfrac{1}{2} \, a_{22} \, (\ln L)^2 + a_{12} \, \ln K \,\, \ln L $
まとめ
いくつかの生産関数はありますが、理論・実証により使われる生産関数は違います。
ただ、いずれも大事な生産関数なので、覚えておく必要があります。