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問題ミクロ経済学初級

完全競争下の費用関数に関する基本的な問題

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ミクロ経済学における完全競争下の費用関数に関する基本的・入門的な問題です。
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 ある企業は、次のような費用関数$C(x)$のもと、$x$を生産しているものとする。

  $C(x) = 9x^2 + 25$

※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。

【問題1】
 この費用関数について、可変費用$VC$、固定費用$FC$はいくらか。

【回答1】 

 費用関数の式から、明らかなように、次の通り。

  $VC = 9x^2$

  $FC = 25$

【問題2】
 この費用関数について、限界費用$VC$、平均費用$FC$は求めよ。

【回答2】 

 費用関数の式から、それぞれ次の通りとなる。

  $MC = \dfrac{d C(x)}{d x} = 18x$

  $AC = \dfrac{C(x)}{x} = 9 + \dfrac{25}{x}$

【問題3】
 この費用関数のもと、利益が0となる価格と生産量を求めよ。

【回答3】 

 価格を$p$とすると、利益が0になるのは、$p = C(x) / x$から、価格が平均費用に等しいときである。他方、完全競争市場において、企業の利潤最大化条件は、価格=限界費用($p = MC$)である。
 これらのことから、平均費用=限界費用($AC = MC$)であるときの生産量を求めることになる。
 このとき、問題2から、

  $9 + \dfrac{25}{x} = 18x$

を解くと、

  $x= \dfrac{5}{3}$

が得られ、更に、$p = MC$に注意して、限界費用$MC$の式にこの値を代入すると、

  $p = 18 × \dfrac{5}{3} = 30$

となる(当然ながら、平均費用$AC$の式に代入してもよい)。

(別解)
 平均費用の最低点で、利益は0になることから、平均費用を$x$で微分し、0とすると、

  $\dfrac{d AC}{d x} = 9 \; – \; \dfrac{25}{x^2} = 0 $

となり、整理すると、

 $x = \dfrac{5}{3}$

が得られる。後は、上記と同様に、価格を求めればよい。

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