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コブ=ダグラス型生産関数に関する簡単な計算問題

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問題ミクロ経済学初級
経済学において、コブ=ダグラス型生産関数に関し、限界生産力や限界変形率などの簡単な計算問題です。
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 $Y$を生産量、$K$を資本、$L$を労働力としたとき、次のようなコブ=ダグラス型生産関数があるとする。

  $Y = K^{0.6} L^{0.4}$

※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。

【問題1】
 資本と労働力それぞれについて、限界生産力を求めよ。

【回答1】 

 資本の限界生産力、労働力の限界生産力は、それぞれ$Y$を$K \, , \, L$で微分したものなので、

  $\dfrac{\partial Y}{\partial K} = 0.6 \left( \dfrac{L}{K} \right)^{0.4}$

  $\dfrac{\partial Y}{\partial L} = 0.4 \left( \dfrac{K}{L} \right)^{0.6}$

となります。

【問題2】
 生産要素である資本と労働力に関し、生産要素に関する限界代替率(限界変形率)を求めよ。

【回答2】 

 限界代替率は、資本の限界生産力と労働力の限界生産力の比なので、

  $\dfrac{\partial Y / \partial K}{\partial Y / \partial L} =\dfrac{0.6 (L / K)^{0.4}}{0.4 (K / L)^{0.6}} = \dfrac{3}{2} \dfrac{L}{K}$

となります。

 なお、資本の限界生産力を分母にしたときは、

  $\dfrac{\partial Y / \partial L}{\partial Y / \partial K} = \dfrac{2}{3} \dfrac{K}{L}$

です。

【問題3】
 資本と労働力において、代替の弾力性を求めよ。

【回答3】 

 このコブ=ダグラス型生産関数は、1次同次なので、生産関数を$f$とすると、代替の弾力性は次式で計算できます。

  $\dfrac{f_L f_K}{Y f_{LK}}$

 この式を計算すると、

  $\dfrac{f_L f_K}{Y f_{LK}} = \dfrac{(0.6 (L / K)^{0.4}) \cdot (0.4 (K / L)^{0.6})}{(K^{0.6} L^{0.4}) \cdot (3/2 L^{-0.6}K^{-0.4})} = \dfrac{3/2 L^{-0.2} K^{0.2}}{3/2 L^{-0.2} K^{0.2}} = 1$

となります。

 なお、この問題においては、計算をしなくても、1次同次のコブ=ダグラス型生産関数の性質の1つです。

※コブ=ダグラス型生産関数については、次も見てください。

  コブ=ダグラス型生産関数について、分かりやすく解説します

  コブ=ダグラス型生産関数の導出方法・求め方

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