消費者行動における異時点間の消費に関する基本的な計算問題

　貯蓄を$s$とすると、一期目と二期目のそれぞれの予算制約式は、次のようになります。

　　一期目：$c_1 + s = 100$

　　二期目：$1.1 s = c_2$

　この式から、$s$を整理すると、

　　$c_1 + \dfrac{1}{1.1} c_2 = 100$

となり、効用関数に代入すると、

　　$u(c_1 \, , \, c_2) = c_1 c_2 = (100 \; – \; \dfrac{1}{1.1} c_2) c_2$

となり、これを微分します。

　　$\dfrac{\partial u}{\partial c_2} = 100 \; – \; \dfrac{2}{1.1} c_2 = 0$

　この式を解くと、

　　$c_2 = 55$

であり、上記の予算制約式に代入すると、

　　$c_1 = 50$

を得ることができます。

　予算制約式は、問題１と変わりませんが、効用関数が少しややこしい感じです。
　そこで、ラグランジュ乗数法を使って解くことを考えます。
　（ラグランジュ未定乗数法については、「経済学でよく使われる「ラグランジュの未定乗数法」の公式」）

　すなわち、

　　$L = \ln c_1 + \ln c_2 + \lambda(c_1 + \dfrac{1}{1.1} c_2 \; – \; 100)$

について、$c_1 \, , \, c_2$で微分することを考えます。

　　$\dfrac{\partial L}{\partial c_1} = \dfrac{1}{c_1} + \lambda = 0$

　　$\dfrac{\partial L}{\partial c_2} = \dfrac{1}{c_2} + \dfrac{1}{1.1} \lambda = 0$

となるので、$\lambda$を消去すると、

　　$\dfrac{c_2}{c_1} = 1.1 $

が得られます。これを予算制約式に代入すると、

　　$c_1 + \dfrac{1}{1.1} 1.1 c_1 = 100$

から、

　　$c_1 = 50$

であり、

　　$c_2 = 55$

となります。