概要
漸近理論において、収束の考えは重要です。そして、確率収束・分布収束など、いくつかの収束がありますが、その1つである確率収束について、定義はもとより、知っておくと便利な演算のルールについて、まとめました。
確率収束
データ数が $ n$ のとき、任意の確率変数を $ X_n$ があるとします。
データ数が無限大になったとき、確率変数 $ X_n$ が定数 $ c$ から外れる確率が0に近づくとき、$X_n$ が $c$に「確率収束」すると定義されます。
数式で表すと、次のようになります。
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} P( | X_n – c | \geq \varepsilon ) = 0$
$ n \rightarrow \infty$ のとき、確率変数 $ X_n $ と定数 $ c$ との差について、$ \varepsilon$ 以上になる確率が、0になることを示しています。
なお、数学的には、次のような形で表されることもあります。
$\textrm{plim} \, X_n = c$ もしくは $ X_n \overset{p}{\longrightarrow} c$
確率収束の演算のルール
2つの確率変数 $ X \, , \, Y$ があるとき、連続写像定理から、次式が成立します。
$\textrm{plim} \, f(X \, , \, Y) = f(\textrm{plim} \, X \, , \, \textrm{plim} \, Y)$
そしてこの式から、plimについて、次のような演算のルールがあります。
$\textrm{plim} \, a = a$
$\textrm{plim} \, (aX^b) = a \, \textrm{plim} \, X^b$
$\textrm{plim} \, (X+Y) = \textrm{plim} \, X + \textrm{plim} \, Y$
$\textrm{plim} \, (XY) = \textrm{plim} \, X \cdot \textrm{plim} \, Y$
$\textrm{plim} \, \dfrac{X}{Y} = \dfrac{\textrm{plim} \, X}{\textrm{plim} \, Y}$
なお、$ a \, , \, b$ は定数です。
まとめ
実証できれば、パソコンを動かせればいいという方は、あまり関係ないかもしれませんが、それらの背景にある考え方を知るには必要な演算ルールなどです。比較的簡単なルールばかりなので、覚えておいていいかもしれません。