確率収束の定義や演算ルールなどのまとめ

漸近理論において、いくつかある収束の1つである確率収束(plim)。その定義や演算ルールなどをまとめてみました。
上級

概要

 漸近理論において、収束の考えは重要です。そして、確率収束・分布収束など、いくつかの収束がありますが、その1つである確率収束について、定義はもとより、知っておくと便利な演算のルールについて、まとめました。

確率収束

 データ数が n のとき、任意の確率変数を X_n があるとします。
 データ数が無限大になったとき、確率変数 X_n が定数 c から外れる確率が0に近づくとき、X_nc「確率収束」すると定義されます。

 数式で表すと、次のようになります。

  \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} P( | X_n - c | \geq \varepsilon ) = 0

 n \rightarrow \infty のとき、確率変数 X_n と定数 c との差について、\varepsilon 以上になる確率が、0になることを示しています。

 なお、数学的には、次のような形で表されることもあります。

  plim X_n = c もしくは X_n \overset{p}{\longrightarrow} c

確率収束の演算のルール

 2つの確率変数 X \, , \, Y があるとき、連続写像定理から、次式が成立します。

  plim \, f(X \, , \, Y) = f(plim \, X \, , \, plim \, Y)

 そしてこの式から、plimについて、次のような演算のルールがあります。

  plim \, a = a

  plim \, (aX^b) = a \, plim X^b

  plim \, (X+Y) = plim \, X + plim \, Y

  plim \, (XY) = plim \, X \dot plim \, Y

  plim \, \dfrac{X}{Y} = \dfrac{plim \, X}{plim \, Y}

 なお、a \, , \, b は定数です。

まとめ

 実証できれば、パソコンを動かせればいいという方は、あまり関係ないかもしれませんが、それらの背景にある考え方を知るには必要な演算ルールなどです。比較的簡単なルールばかりなので、覚えておいていいかもしれません。

統計学
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