はじめに
次のような、AR(1)モデルがあるとします。
$y_t = \phi y_{t-1} + u_t \quad \cdots \quad (1)$
このモデルにおいて、次のようなときに、単位根検定が行われます。
①定常性
$(1)$式において、定常性の条件を満たすには、
$|\phi| < 1$
である必要があります。しかし、$\phi$が$1$に近いことも多く、$\phi=1$のときには定常性の条件を満たさないので、$\phi$が$1$かどうかを検定する必要があります。
②モデルの区別
単位根検定で調べるのは、時系列モデルの自己回帰係数が $1$ であるかどうかです。例えば $(1)$ 式で $\phi=1$ なら、$y_t=y_{t-1}+u_t$ というランダムウォークになります。
一般の回帰式で、別の説明変数に掛かる係数が $1$ かどうかを調べる検定は、単位根検定とは異なります。例えばフィッシャー効果を検証する回帰のインフレ率の係数に対する制約は、変数の定常性や共和分などを考慮した方法で検定する必要があります。
単位根検定
$(1)$式において、単位根検定は、次のような帰無仮説を検定することになります。
$H_0 : \phi = 1$
$H_1 : |\phi| < 1$
帰無仮説のもとでは通常のt分布による検定は使えません。$(1)$式を変形すると、
$y_t = (\phi \; – \; 1) y_{t-1} + y_{t-1} + u_t$
であり、$\rho = \phi \; – \; 1$として、次のように変形できます。
$\Delta y_t = \rho y_{t-1} + u_t \quad \cdots \quad (2)$
そして、これについて、
$H_0 : \rho = 0$
$H_1 : -2 < \rho < 0$
という仮説を考えます。$(2)$式をOLSで推定し、$\hat\rho$ をその標準誤差で割った統計量を計算します。帰無仮説のもとでは、この統計量は通常のt分布には従わないため、Dickey-Fuller分布の下側の臨界値を使って判定します。棄却できない場合も、単位根が存在することを証明したわけではありません。
ここでは $u_t$ が平均ゼロ、一定の分散を持ち、系列相関のない誤差であると仮定し、定数項・トレンドのないモデルを扱っています。定数項やトレンドを加える場合は対応した臨界値を用い、系列相関に対応する場合は差分のラグを加えたADF検定などを用います。
そしてこの方法を「Dickey-Fuller検定」（DF検定）と言います。
参考
山本拓『経済の時系列分析』
黒住英司『計量経済学』
羽森茂之『ベーシック計量経済学』