はじめに
ミクロ経済学では、いくつかの財を消費する場合を考えることが多いのですが、同じ財について、異時点間で消費する場合に、どのようになるでしょうか。
ある個人は二期間のみを生きるとして、一期目に働き、二期目には一期目の貯蓄で生活するような場合です。
これを考えるのが、異時点間の消費です（多期間モデル）。これを数式で説明します。
モデル
上記で述べたように、ある個人は、二期間生きるとして、一期目は働き、二期目は貯蓄で生活するとします。
一期目・二期目の消費を$c_1 \, ,\, c_2$とし、貯蓄を$s$、利子率を$r$とします。
このとき、一期目で働いたときの所得を$E$とすると、一期目・二期目の予算制約式は、次のようになります。
一期目：$c_1 + s = E$
二期目：$c_2 = (1 + r) s$
そして、この個人の効用関数を$u$とすると、次のような効用最大化問題を解くことになります。
$\displaystyle \max_{c_1 \, , \, c_2} u(c_1 \, , \, c_2)$
$s.t. \quad c_1 + s = E$
$c_2 = (1 + r) s$
予算制約式について、$s$をキャンセルし、ラグランジュ未定乗数法を使って、解くことにしましょう。
（ラグランジュ未定乗数法については、「経済学でよく使われる「ラグランジュの未定乗数法」の公式」）
$L = u(c_1 \, , \, c_2) + \lambda (c_1 + \dfrac{1}{1 +r} c_2 \; – \; E)$
この式について、$c_1 \, ,\, c_2$で微分し、$0$とすると、
$\dfrac{\partial u}{\partial c_1} = u_1 + \lambda = 0$
$\dfrac{\partial u}{\partial c_2} = u_2 + \lambda \dfrac{1}{1 +r} = 0$
であり（ここで$u_i = \partial u / \partial c_i$）、$\lambda$を消去すると、
$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{1}{1 +r}$
となります。
この式から、左辺である異時点間の限界効用の代替率$u_2 / u_1$と利子率$r$が等しくなるように、この個人は行動することになります。
式だけでは直観的に分かりづらいので、これをグラフで見ると、次のようになります。
横軸が一期目の消費で、縦軸が二期目の消費で、予算制約式と効用関数が接する点で、一期目と二期目の消費の配分が決定することになります。
ここで、利子率が上昇すると、予算制約式の傾きが大きくなるので、この個人は二期目の消費を増やすことになります。
効用関数の特定化
異時点間の消費モデルにおいて、関数を特定化して扱うことがあるので、例を挙げておきましょう。
効用関数が次のような場合を考えます（$\alpha \, , \, \beta$はパラメーター）。
$u(c_1 \, , \, c_2) = \alpha u(c_1) + \beta u(c_2)$
この場合には、上記の式から、
$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{1}{1 +r}$
となります。
最後に
次で簡単な計算問題も用意してますので、参考にしてください。