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投稿マクロ経済学中級

基本的なラムゼーの最適成長モデルの解き方

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基本的なラムゼーの最適成長モデルについて、ハミルトニアンを用いて、解き方を数式を交えて解説します。
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はじめに

 マクロ経済学における成長理論において、ラムゼーの最適成長モデルは、基本的なモデルと言ってもいいと思います。

 そして解法においては、ラグランジュ乗数法を用いるなど、いくつかのものがありますが、ハミルトニアンを用いた場合について、解説したいと思います。

ラムゼーの最適成長モデル

生産

 t期の生産量をY_tとし、資本K_tと人口N_tを用いて、生産します。

  Y_t = F(K_t \, , \, N_t) \quad \cdots \quad (1)

 この生産量を消費C_tに回すか、貯蓄するかのいずれかを行います。ここで、貯蓄はすべて投資に使われるとし、投資はdK_t/dtと表せる(投資は時間に対する限界的な資本増加と表せる)ので、

  \displaystyle Y_t = C_t + \dfrac{dK_t}{dt} \quad \cdots \quad (2)

となり、(1)(2)式を用いると、

  F(K_t \, , \, N_t) = C_t + \dfrac{dK_t}{dt} \quad \cdots \quad (3)

が得られます。

 1人当たりで考えるため、1人当たりの資本をk_t、1人当たりの消費をc_tとし、生産関数はF(K_t \, , \, N_t)は1次同次と仮定すると、(3)式は、

  F(k_t \, , \, 1) = c_t + \dfrac{dK_t}{N dt} \quad \cdots \quad (4)

となります。(4)式の右辺第2項を整理するため、1人当たり資本k_tの増加を考え、

  dk = dK_t N^{-1} - dN_t K

であることから、式変形すると、

  dK_t = N_t dk + d N_t K_t N_t \quad \cdots \quad (5)

が得られます。ここで、人口増加率を

  \displaystyle n = \dfrac{dN_t/dt}{N_t}

とし、生産関数をF(K_t \, , \, N_t) = f(k_t)と定義します。そうすると、(5)式を用いて、(4)式を変形すると、

  \displaystyle f(k_t) = c_t + \dfrac{dk_t}{dt} + n k_t \quad \cdots \quad (6)

が得られます。

 なお、境界条件を設定するため、生産関数f(k_t)は、稲田条件に従っているとします。

  f(0) = 0 \quad , \quad f'(k_t)\textgreater0 \quad ,  \quad f'(0)=\infty \quad ,   \quad f'(\infty)=0

家計

 各期の効用をu(c_t)とし、\rhoを時間選好率とすると、全期間の効用Uは、次のようになります。

  \displaystyle U = \int^{\infty}_0 u(c_t) exp(-\rho t) dt \quad \cdots \quad (7)

最適化問題

 以上を求めると、(6)(7)式から、次のような最適化問題を解くことになります。

  max \, \displaystyle U = \int^{\infty}_0 u(c_t) exp(-\rho t) dt \quad \cdots \quad (8)
  s.t. \, \displaystyle \dfrac{dk_t}{dt} = f(k_t) - c_t - n k_t

 そして、共役変数を\mu_tとし、ハミルトン関数H_tを用いると、

  H_t = u(c_t) exp(-\rho t) + \mu_t (f(k_t) - c_t - n k_t) \quad \cdots \quad (9)

を解くことになります。

 ここで、exp(-\rho t)の取り扱いが厄介なので、

  \lambda_t = \mu_t exp(\rho t) \quad (10)

と定義すると、(9)式は、

  H_t = [u(c_t) + \lambda_t (f(k_t) - c_t - n k_t)] exp(-\rho t) \quad \cdots \quad (11)

となります(exp(-\rho t)が[]の外に出ていることに注意)。

最適化条件

 (9)式から、最適化の条件としては、次の3つのようになります。

  \displaystyle \dfrac{dH_t}{dc_t} = 0 \quad \cdots \quad (12)
  \displaystyle \dfrac{d \mu_t}{dt} = -\dfrac{dH_t}{dk_t} \quad \cdots \quad (13)
  \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} k_t \mu_t = 0 \quad \cdots \quad (14)

 ここで、(10)式において、

  \displaystyle \dfrac{d \lambda_t}{dt} = \dfrac{d \mu_t}{dt} exp(\rho t) + \rho \mu_t exp(\rho t) = \dfrac{d \mu_t}{dt} exp(\rho t) + \rho \lambda \quad \cdots \quad (15)

が成立していることに注意し、(12)(13)(14)を解くと、

  \displaystyle u'(c_t) = \lambda_t \quad \cdots \quad (16)
  \displaystyle \dfrac{d \lambda_t}{dt} = \lambda_t [ \rho + n - f'(k_t)] \quad \cdots \quad (17)
  \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} k_t u'(c_t) exp(-\rho t) = 0 \quad \cdots \quad (18)

が得られます。

(16)式の導出方法
 (12)式から、dH_t/dc_t = 0であり、(11)式をc_tで微分すれば得られます。

(17)式の導出方法
 (15)式から、

  \displaystyle \dfrac{d \lambda_t}{dt} = \dfrac{d \mu_t}{dt} exp(\rho t) + \rho \lambda

であり、(13)式を代入すると、

  \displaystyle \dfrac{d \lambda_t}{dt} = -\dfrac{dH_t}{dk_t} exp(\rho t) + \rho \lambda

となります。

 ここで、(11)式をk_tで微分すると、

  \dfrac{dH_t}{dk_t} = \lambda_t (f'(k_t) - n] exp(-\rho t)

が得られるので、上記の式に代入すると、

  \displaystyle \dfrac{d \lambda_t}{dt} = -\lambda_t (f'(k_t) - n] exp(-\rho t) exp(\rho t) + \rho \lambda

であり、整理すると、

  \displaystyle \dfrac{d \lambda_t}{dt} = \lambda_t [ \rho + n - f'(k_t)]

が得られます。

(18)式の導出方法
 (14)式において、

  \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} k_t \mu_t = 0

であり、(10)式の\mu_t = \lambda_t exp(-\rho t)を使うと、

  \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} k_t \lambda_t exp(-\rho t) = 0

となり、(16)式のu'(c_t) = \lambda_tを用いると、(18)式が得られます。

 更に、(17)(18)式より、\lambda_tをキャンセルすると、

  \displaystyle \dfrac{du'(c_t)/dt}{u'(c_t)} = \rho + n - f'(k_t) \quad \cdots \quad (19)

が得られます。

定常状態

 定常状態における1人当たりの消費をc^*、資本をk^*とすると、定常状態ではdlambda_t/dt = 0となるので、(17)式から、

  f'(k^*) = \rho + n

となり、定常状態では、限界生産力は、時間選好率と人口増加率の合計に等しくなります。

 また、(6)式を用いて、dk_t/dt =0に注意すると、

  c^* =  f(k^*) - n k^*

と、消費水準も決定します。

参考

   Olivier Blanchard, Stanley Fischer『Lectures on Macroeconomics

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