概要
経済学において、最適化の問題は重要です。
この場合に、微分が用いられるのですが、制約がある場合には、単純に微分を用いることはできません。
そこで用いられるのが、「ラグランジュ(Lagrange)の未定乗数法」です。
ラグランジュの未定乗数法
$ n$個の変数 $ x_1, \cdots ,x_n$ について、$ m$ 個の制約式があり、目的関数の解を求めたいとしましょう。
すなわち、次式を解きたいと考えるとしましょう。
$ \max \quad u(x_1, \cdots ,x_n)$
$ s.t. \quad f_1(x_1, \cdots ,x_n)=0, \cdots , f_m(x_1, \cdots ,x_n)=0 (m \lt n)$
このとき、ラグランジュ関数 $ L$を 用いて、次式を作ります(なお、このラグランジュ関数 $ L$ は「ラグランジアン」と呼ばれたりもします)。
$ L(x_1, \cdots ,x_n, \lambda_1 , \cdots , \lambda_m) = u + \lambda_1 f_1 + , \cdots , + \lambda_m f_m$
そして、ラグランジュ関数 $ L$ について、変数 $ x_i$ 、ラグランジュ乗数 $ \lambda_j$ で偏微分すると、次のような一階の条件が得られます。
$ \dfrac{\partial u}{\partial x_1} + \lambda_1 \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} + , \cdots , + \lambda_m \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} = 0$
$ \vdots$
$ \dfrac{\partial u}{\partial x_n} + \lambda_1 \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} + , \cdots , + \lambda_m \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} = 0$
$ f_1 = 0$
$ \vdots$
$ f_m = 0$
制約式が1つの場合
上記は、制約式が $ m$ 式ありましたが、基本的な経済モデルにおいては、制約式が1つの場合( $ m=1$ )が多いです。
このときには、次のような極値問題になります(なお、経済学っぽく、制約式に $ 0$ ではなく、定数 $ E$ をつけてます)。
$ \max \quad u(x_1, \cdots ,x_n)$
$ s.t. \quad f(x_1, \cdots ,x_n)=E$
ラグランジュ関数 $ L$ は、次のようになります。
$ L(x_1, \cdots ,x_n, \lambda) = u(x_1, \cdots ,x_n) + \lambda (E – f(x_1, \cdots ,x_n))$
そして、上記と同様に変数 $ x_i$ 、ラグランジュ乗数 $ \lambda$ で偏微分すると、次のような一階の条件が得られます。
$ \dfrac{\partial u}{\partial x_1} – \lambda \dfrac{\partial f}{\partial x_1} = 0$
$ \vdots$
$ \dfrac{\partial u}{\partial x_n} – \lambda \dfrac{\partial f}{\partial x_n} = 0$
$ E – f(x_1, \cdots ,x_n) = 0$
ラグランジュ乗数 $ \lambda$ について
ラグランジュ乗数 $ \lambda$ は、「シャドープライス」や「潜在価値」と言われたりします。
なぜならば、制約式が1つの場合で考えると
$ \dfrac{\partial u}{\partial E} = \lambda$
が成立するからです。すなわち、定数 $ E$ が増加したときの目的関数 $ u$ への影響が、ラグランジュ乗数 $ \lambda$ だからです。