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フィッシャー方程式の導出方法・解き方を説明(数式あり)!

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投稿マクロ経済学中級
経済学におけるインフレ率や利子率との関係を示すフィッシャー方程式。少し数学的になりますが、むしろ数学的にしっかりとどのように導出するのか・解き方を知りたい方向けに、フィッシャー方程式の導出方法・解き方を説明します。
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フィッシャー方程式

 本投稿を読まれる方は、フィッシャー方程式について、すでにご存じだと思います。

 ただ念のため、説明しておきますと、フィッシャー方程式とは、

  名目金利 = 実質金利 + 期待インフレ率

という関係式です。
 (なお、「フィッシャー方程式について解説します」で、そもそもの式について、説明しています)

 何となく元々あるような関係式ですが、しっかりとした導出方法があります。

導出方法

 まずは、名目金利、実質金利、物価について、それぞれ次のように表すことにしましょう。

  $ r_t$ : $ t$ 期の実質金利、$ i_t$ : $ t$ 期の名目金利、$ P_t$ : $ t$ 期の物価

 $ t$ 期において、預金した場合、$ 1+i_t$ の名目金利からの利益を得ることができます。

 しかし、預金額は物価の影響を受けるため、物価の影響を考えて、その利益を考える必要があります。例えば、名目金利から500円の利益を得ても、物価が現在から倍になれば、その500円の価値は実質的には250円になるからです。

 そこで、名目金利( $ i_t$ )を踏まえ、物価を考慮した利益は、次式のような実質金利( $ r_t$ )で表すことができます。

  $ 1 + r_t = \dfrac{(1 + i_t)P_t}{P_{t+1}} $

 ここで、$ P_t/P_{t+1}$ は、物価水準を表します。物価が上昇し、1期後の $ P_{t+1}$ が現在の $ P_t$ よりも大きければ、名目金利( $ i_t$ )の価値は下がり、逆に1期後の $ P_{t+1}$ が現在の $ P_t$ よりも小さければ、名目金利( $ i_t$ )の価値は上がることになります。

 ただ、未来の $ t+1$ 期のことは $ t$ 期では分かりません。そこで、予想・期待ということで、$ t+1$ 期の物価を $ P^e_{t+1}$ と表すと、次のような式になります( $ P_{t+1}$ の右上に「 $ e$ 」が付いていることに注意してください)。

  $ 1 + r_t = \dfrac{(1 + i_t)P_t}{P^e_{t+1}} \qquad \cdots \qquad (1)$

 この式を対数化すると、次の式が得られます。

  $ \ln(1 + r_t) = \ln(1 + i_t) – [ \ln(P^e_{t+1} – \ln(P_t) ]$

 ここで、数学的に $ (\ln x_{+1} – \ln x ) \approx (x_{+1} – x)/x$ 、$ \ln (1+x) \approx x$ という公式を用いると、次のように変形することができます(なお、ここで近似を用いるというのが、1つの大きなポイントです。これらの考えが気になるようでしたら、「対数の近似式について」をご覧ください)。

  $ r_t = i_t – \dfrac{P^e_{t+1} – P_t}{P_t} \qquad \cdots \qquad (2)$

 そして、右辺の$ (P^e_{t+1} – P_t)/P_t$ は期待インフレ率を表すので、次のような意味となります。

  実質金利 = 名目金利 – 期待インフレ率

 上記のフィッシャー方程式は、この式を変形し、名目金利を左辺にもってきたものであることが分かります。
 (なお、この式をフィッシャー方程式としていることもあります)

数値例

 最後に、$ (1)$ 式と $ (2)$ 式について、数値例で考えてみましょう。

 名目金利 $ 5\%$ を、現在の物価水準を $ 100$ 、1年後の予想物価水準を $ 103$ とします。
 このとき、次のような結果になります。

  $ (1)$ 式 … $ r_t = \dfrac{(1 + i_t)P_t}{P^e_{t+1}} – 1 = \dfrac{(1+0.05)\times 100}{103} -1 = 0.019$

  $ (2)$ 式 … $ r_t = i_t – \dfrac{P^e_{t+1} – P_t}{P_t} = 0.05 – \dfrac{103 – 100}{100} = 0.02$

 上記の導出で分かるように、途中で近似しているため、若干の誤差が生じています。

参考

  齊藤誠・岩本康志・太田聰一・柴田章久『マクロ経済学

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