フィッシャー方程式の導出方法・解き方を説明(数式あり)!

インフレ率や利子率との関係を示すフィッシャー方程式。少し数学的になりますが、むしろ数学的にしっかりとどのように導出するのか・解き方を知りたい方向けに、フィッシャー方程式の導出方法・解き方を説明します。

フィッシャー方程式

 本投稿を読まれる方は、フィッシャー方程式について、すでにご存じだと思います。

 ただ念のため、説明しておきますと、フィッシャー方程式とは、

  名目金利 = 実質金利 + 期待インフレ率

という関係式です。
 (なお、「フィッシャー方程式について解説します」で、そもそもの式について、説明しています)

 何となく元々あるような関係式ですが、しっかりとした導出方法があります。

導出方法

 まずは、名目金利、実質金利、物価について、それぞれ次のように表すことにしましょう。

  r_tt 期の実質金利、i_tt 期の名目金利、P_tt 期の物価

 t 期において、預金した場合、1+i_t の名目金利からの利益を得ることができます。

 しかし、預金額は物価の影響を受けるため、物価の影響を考えて、その利益を考える必要があります。例えば、名目金利から500円の利益を得ても、物価が現在から倍になれば、その500円の価値は実質的には250円になるからです。

 そこで、名目金利( i_t )を踏まえ、物価を考慮した利益は、次式のような実質金利( r_t )で表すことができます。

  1 + r_t = \dfrac{(1 + i_t)P_t}{P_{t+1}}

 ここで、P_t/P_{t+1} は、物価水準を表します。物価が上昇し、1期後の P_{t+1} が現在の P_t よりも大きければ、名目金利( i_t )の価値は下がり、逆に1期後の P_{t+1} が現在の P_t よりも小さければ、名目金利( i_t )の価値は上がることになります。

 ただ、未来の t+1 期のことは t 期では分かりません。そこで、予想・期待ということで、t+1 期の物価を P^e_{t+1} と表すと、次のような式になります( P_{t+1} の右上に「 e 」が付いていることに注意してください)。

  1 + r_t = \dfrac{(1 + i_t)P_t}{P^e_{t+1}} \qquad \cdots \qquad (1)

 この式を対数化すると、次の式が得られます。

  \ln(1 + r_t) = \ln(1 + i_t)  -  [ \ln(P^e_{t+1} -  \ln(P_t) ]

 ここで、数学的に (\ln x_{+1} - \ln x ) \approx (x_{+1} - x)/x\ln (1+x) \approx x という公式を用いると、次のように変形することができます(なお、ここで近似を用いるというのが、1つの大きなポイントです。これらの考えが気になるようでしたら、「対数の近似式について」をご覧ください)。

  r_t = i_t - \dfrac{P^e_{t+1} - P_t}{P_t} \qquad \cdots \qquad (2)

 そして、右辺の(P^e_{t+1} - P_t)/P_t は期待インフレ率を表すので、次のような意味となります。

  実質金利 = 名目金利 – 期待インフレ率

 上記のフィッシャー方程式は、この式を変形し、名目金利を左辺にもってきたものであることが分かります。
 (なお、この式をフィッシャー方程式としていることもあります)

数値例

 最後に、(1) 式と (2) 式について、数値例で考えてみましょう。

 名目金利 5\% を、現在の物価水準を 100 、1年後の予想物価水準を 103 とします。
 このとき、次のような結果になります。

  (1) 式 … r_t = \dfrac{(1 + i_t)P_t}{P^e_{t+1}} - 1 = \dfrac{(1+0.05)\times 100}{103} -1 = 0.019

  (2) 式 … r_t = i_t - \dfrac{P^e_{t+1} - P_t}{P_t} = 0.05 - \dfrac{103 - 100}{100} = 0.02

 上記の導出で分かるように、途中で近似しているため、若干の誤差が生じています。

タイトルとURLをコピーしました