クラメールの公式

クラメールの公式

　次のような$n$本の連立1次方程式があるとします。

　　$a_{11}x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1$
　　$a_{21}x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2$
　　　　　　$\vdots$
　　$a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n$

　このとき、

　　$|\mathbf{A}| = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}$

　　$|\mathbf{A}_j| = \begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j-1} & b_1 & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & \cdots & a_{2j-1} & b_2 & a_{2j+1} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nj-1} & b_n & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}$

のような行列式を考えます。なお、$|\mathbf{A}_j|$は、$|\mathbf{A}|$の$a_{ij}$の$j$列を$b_1 \, , \, \cdots \, , \, b_n$で入れ替えたものです。

　クラメールの公式とは、$|\mathbf{A}| \neq 0$ならば

　　$x_j = \dfrac{|\mathbf{A}_j|}{|\mathbf{A}|} \quad (j =1 \, , \, \cdots \, , \, n)$

となるような一意の解をもつというものです。

$n=2$の場合

　上記では$n$本の方程式を考えましたが、2本の方程式の場合を見てみましょう。

　　$a_{11}x_1 + a_{12} x_2 = b_1$
　　$a_{21}x_1 + a_{22} x_2 = b_2$

　このとき、

　　$|\mathbf{A}| = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{vmatrix}$

　　$|\mathbf{A}_1| = \begin{vmatrix}
b_1 & a_{12}\\
b_2 & a_{22}\\
\end{vmatrix} \quad , \quad |\mathbf{A}_2| = \begin{vmatrix}
a_{11} & b_1\\
a_{21} & b_2\\
\end{vmatrix}$

なので、

　　$x_1 = \dfrac{\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12}\\
b_2 & a_{22}\\
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{vmatrix}} = \dfrac{b_1 a_{22} \; – \; b_2 a_{12}}{a_{11} a_{22} \; – \; a_{12}a_{21}}$

　　$x_2 = \dfrac{\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1\\
a_{21} & b_2\\
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{vmatrix}} = \dfrac{b_2 a_{11} \; – \; b_1 a_{21}}{a_{11} a_{22} \; – \; a_{12}a_{21}}$

計算例

　次のような連立1次方程式について、クラメールの公式を使って解くことを考えます。

　　$2x_1 + x_2 = 8$
　　$5x_1 + 3x_2 = 5$

　まずは、クラメールの公式を使うため、行列式を計算します。

　　$|\mathbf{A}| = \begin{vmatrix}
2 & 1\\
5 & 3\\
\end{vmatrix} = 1 \quad , \quad |\mathbf{A}_1| = \begin{vmatrix}
8 & 1\\
5 & 3\\
\end{vmatrix} = 19 \quad , \quad |\mathbf{A}_2| = \begin{vmatrix}
2 & 8\\
5 & 5\\
\end{vmatrix} = -30$

　そして、クラメールの公式より、次を得ることができます。

　　$x_1 = \dfrac{19}{1} = 19$

　　$x_2=\dfrac{-30}{1}=-30$

参考

　　ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル』

　　多鹿智哉『読んで理解する 経済数学』