概要
生産関数を特定化した場合の1つとして、線形生産関数（Linear produciton function）があります。
産出量を $ Y$ 、資本を $ K$ 、労働力を $ L$ としたとき、次のようなものです。
$ Y = a K + b L$
いくつかある生産関数の1つであり、対数をとれば、線形化できるなど、便利な生産関数です。
直観的には分かりやすい生産関数ですが他の生産関数との関係を考えたとき、CES型生産関数から、この線形生産関数を導出できます。
（他の生産関数については「経済学における生産関数の種類」を参考にしてください）
ここでは、この導出方法・求め方を解説します。
導出方法
まず、代替の弾力性を $ \rho$ とすると、CES型生産関数は、次のようになります。
$ Y = [\alpha K^{-\rho} + \beta L^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}}$
線形生産関数は、このCES型生産関数において、$ \rho=-1$ の場合です。
このことから、$ \rho=-1$ を代入すると、
$ Y = a K + b L$
が得られます、
また、技術力 $ A$ も入っているCES型生産関数の場合、$ A$ が付け加わっただけなので、
$ Y = A [\alpha K^{-\rho} + \beta L^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}}$
であり、$ \rho=-1$ から
$ Y = A (a K + b L)$
となります。
まとめ
全く難しい計算ではありませんが、線形生産関数は、CES型生産関数における代替の弾力性が $ \rho=-1$ の場合ということは覚えておく必要があります。
参考
西村和雄『ミクロ経済学ミクロ経済学』