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マーシャル・ラーナー条件の導出方法(数式)

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投稿国際金融論初級
国際貿易・国際金融におけるマーシャル・ラーナー条件の導出方法を数式で説明します。
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マーシャル・ラーナー条件

 為替レートが増価すれば、純輸出が減少し、為替レートが減価すれば、純輸出が増加することを保証する条件として、マーシャル・ラーナー条件があります。

 自国の実質為替レートについての輸出需要弾力性を$\varepsilon$、輸入需要弾力性を$\varepsilon^*$とすると、次のようなものです。
 
  $\varepsilon + \varepsilon^* > 1 \quad \cdots \quad (1)$

 なお、自国の輸出数量・輸入数量を$Q^X$、$Q^M$、実質為替レートを$Z$とすると、それぞれの輸出需要弾力性$\varepsilon$、輸入需要弾力性$\varepsilon^*$は、次のようなものです。

  $\varepsilon = \dfrac{\Delta Q^X / Q^X}{\Delta Z / Z} \quad \cdots \quad (2)$

  $\varepsilon^* = \dfrac{\Delta Q^M / Q^M}{\Delta Z / Z} \quad \cdots \quad (3)$

 ※関連するものとして、「円安は純輸出を増やすのか? マーシャル・ラーナー条件について」も見てください。

マーシャル・ラーナー条件の導出方法

 輸出を$X$、輸入を$M$とすると、純輸出$NX$は、次のようになります。

  $NX = X \; – \; M$

 自国・海外の財・サービスの価格を$P \, , \, P^*$、自国の輸出・輸入数量をを$Q^X \, , \, Q^M$とし、名目為替レートを$S$とすると、純輸出$NX$は、次のように書き換えることができます。

  $NX = P Q^X \; – \; S P^* Q^M$

 実質為替レートを$Z$とすると、$Z = S P^* / P$であることに注意すると、

  $\dfrac{NX}{P} = Q^X \; – \; \dfrac{S P^*}{P} Q^M = Q^X \; – \; Z Q^M$

となります。そして、自国の財・サービスの価格$P$はニュメレールとして、$P=1$と簡素化すると、次のようになります。

  $NX = Q^X \; – \; Z Q^M$

 これについて、実質為替レート$Z$の影響を見るため、$Z$で微分すると、

  $\dfrac{\Delta NX}{\Delta Z} = \dfrac{\Delta Q^X}{\Delta Z} \; – \; Z \dfrac{\Delta Q^M}{\Delta Z} \; – \; Q^M$

となり、両辺に$Z / Q^X$を掛けると、次のようになります。

  $\dfrac{\Delta NX}{\Delta Z} \dfrac{Z}{Q^X} = \dfrac{\Delta Q^X}{\Delta Z} \dfrac{Z}{Q^X} \; – \; Z \dfrac{\Delta Q^M}{\Delta Z} \dfrac{Z}{Q^X} \; – \; Q^M \dfrac{Z}{Q^X} \quad \cdots \quad (4)$

 ここで、当初は貿易収支がバランスしていたと仮定すると、$NX = 0$であり

  $Q^X = Z Q^M$

とすると、$(4)$式は、

  $\dfrac{\Delta NX}{\Delta Z} \dfrac{Z}{Q^X} = \dfrac{\Delta Q^X}{\Delta Z} \dfrac{Z}{Q^X} \; – \; Z \dfrac{\Delta Q^M}{\Delta Z} \dfrac{Z}{Z Q^M} \; – 1$

となり、次のように整理できます。

  $\dfrac{\Delta NX}{\Delta Z} \dfrac{Z}{Q^X} = \dfrac{\Delta Q^X / Q^X}{\Delta Z / Z} \; – \; Z \dfrac{\Delta Q^M / Q^M}{\Delta Z / Z} \; – \; 1$

 ここで、$(2)(3)$式の輸出需要弾力性・輸入需要弾力性を使うと、

  $\dfrac{\Delta NX}{\Delta Z} \dfrac{Z}{Q^X} = \varepsilon + \varepsilon^* \; – \; 1$

となります。

 実質為替レートが増加したとき、純輸出も増加するには、$\Delta NX / \Delta Z$が正である必要があるので、

  $\dfrac{\Delta NX}{\Delta Z} \dfrac{Z}{Q^X} > 0$

から、

  $\varepsilon + \varepsilon^* \; – \; 1 > 0$

を得ることができます。

 これは、まさしく$(1)$式のマーシャル・ラーナー条件であることが分かります。

参考

  藤井英次『コア・テキスト国際金融論

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