スポンサーリンク

クーン・タッカー条件の公式

スポンサーリンク
スポンサーリンク
スポンサーリンク
スポンサーリンク

はじめに

 最適化問題を解くにあたり、制約式がある場合には、一般的にラグランジュ未定乗数法が用いられます。
 ここで、制約について、等式ならばいいのですが、不等式でしたら、そのままラグランジュアンを定義し、微分すればいいというわけにはいきません。

 不等式制約条件の場合には、「クーン・タッカー条件」を満たす必要があります。
 (なお、翻訳の問題で、「キューン・タッカー条件」と言われたりもします)

クーン・タッカー条件

非線形計画問題

 非線形問題として、次のような問題とします。

  \displaystyle \max_{\textbf{x}} \quad (\textbf{x} = x_1 \, , \cdots \, , \, x_n)

  s.t. g_1(\textbf{x}) \leq b_1
        \vdots
     g_m(\textbf{x}) \leq b_m

ラグランジュ関数

 この非線形問題について、次のようなラグランジュ関数を定義します。

  \displaystyle L(\textbf{x} , \lambda) = f(\textbf{x}) - \sum^{m}_{j=1} \lambda_j(g_j(\textbf{x}) - b_j)

クーン・タッカーの十分条件

 このとき、クーン・タッカーの十分条件は、次のようになります。

  \dfrac{\partial L}{\partial x_i} = 0 \quad (i = 1 \, , \cdots , \, n)

  \dfrac{\partial L}{\partial \lambda_j} \geq 0 \quad (j = 1 \, , \cdots , \, m)

  \lambda_j \dfrac{\partial L}{\partial \lambda_j} = 0 \quad (j = 1 \, , \cdots , \, m)

  \lambda_j  \geq 0 \quad (j = 1 \, , \cdots , \, m)

 なお、あくまでも十分条件であり、必要条件を満たすには、別の条件が必要になります。

参考

 西村清彦『経済学のための最適化理論入門
 ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル

スポンサーリンク
経済数学
0 票, 平均: 0.00 / 50 票, 平均: 0.00 / 50 票, 平均: 0.00 / 50 票, 平均: 0.00 / 50 票, 平均: 0.00 / 5 (0 投票, 平均: 0.00 / 5)
この投稿を評価するには、ユーザー登録が必要です。
読み込み中...
スポンサーリンク

コメント

Econome
スポンサーリンク
タイトルとURLをコピーしました