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投稿経済数学入門

クーン・タッカー条件の公式

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非線形計画問題におけるクーン・タッカー条件の公式を掲載しています。
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はじめに

 最適化問題を解くにあたり、制約式がある場合には、一般的にラグランジュ未定乗数法が用いられます。
 ここで、制約について、等式ならばいいのですが、不等式でしたら、そのままラグランジュアンを定義し、微分すればいいというわけにはいきません。

 不等式制約条件の場合には、「クーン・タッカー条件」を満たす必要があります。
 (なお、翻訳の問題で、「キューン・タッカー条件」と言われたりもします)

クーン・タッカー条件

非線形計画問題

 非線形問題として、次のような問題とします。

  $ \displaystyle \max_{\textbf{x}} \quad (\textbf{x} = x_1 \, , \cdots \, , \, x_n)$

  s.t. $ g_1(\textbf{x}) \leq b_1$
        $ \vdots$
     $ g_m(\textbf{x}) \leq b_m$

ラグランジュ関数

 この非線形問題について、次のようなラグランジュ関数を定義します。

  $ \displaystyle L(\textbf{x} , \lambda) = f(\textbf{x}) – \sum^{m}_{j=1} \lambda_j(g_j(\textbf{x}) – b_j)$

クーン・タッカーの十分条件

 このとき、クーン・タッカーの十分条件は、次のようになります。

  $ \dfrac{\partial L}{\partial x_i} = 0 \quad (i = 1 \, , \cdots , \, n)$

  $ \dfrac{\partial L}{\partial \lambda_j} \geq 0 \quad (j = 1 \, , \cdots , \, m)$

  $ \lambda_j \dfrac{\partial L}{\partial \lambda_j} = 0 \quad (j = 1 \, , \cdots , \, m)$

  $ \lambda_j \geq 0 \quad (j = 1 \, , \cdots , \, m)$

 なお、あくまでも十分条件であり、必要条件を満たすには、別の条件が必要になります。

参考

 西村清彦『経済学のための最適化理論入門
 ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル

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