クーン・タッカー条件の公式

はじめに

　最適化問題を解くにあたり、制約式がある場合には、一般的にラグランジュ未定乗数法が用いられます。
　ここで、制約について、等式ならばいいのですが、不等式でしたら、そのままラグランジュアンを定義し、微分すればいいというわけにはいきません。

　不等式制約条件の場合には、「クーン・タッカー条件」を満たす必要があります。
　（なお、翻訳の問題で、「キューン・タッカー条件」と言われたりもします）

　非線形問題として、次のような問題とします。

　　$ \displaystyle \max_{\textbf{x}} \quad (\textbf{x} = x_1 \, , \cdots \, , \, x_n)$

　　s.t.　$ g_1(\textbf{x}) \leq b_1$
　　　　　　　　$ \vdots$
　　　　 $ g_m(\textbf{x}) \leq b_m$

　この非線形問題について、次のようなラグランジュ関数を定義します。

　　$ \displaystyle L(\textbf{x} , \lambda) = f(\textbf{x}) – \sum^{m}_{j=1} \lambda_j(g_j(\textbf{x}) – b_j)$

　このとき、クーン・タッカーの十分条件は、次のようになります。

　　$ \dfrac{\partial L}{\partial x_i} = 0 \quad (i = 1 \, , \cdots , \, n)$

　　$ \dfrac{\partial L}{\partial \lambda_j} \geq 0 \quad (j = 1 \, , \cdots , \, m)$

　　$ \lambda_j \dfrac{\partial L}{\partial \lambda_j} = 0 \quad (j = 1 \, , \cdots , \, m)$

　　$ \lambda_j \geq 0 \quad (j = 1 \, , \cdots , \, m)$

　なお、あくまでも十分条件であり、必要条件を満たすには、別の条件が必要になります。

　西村清彦『経済学のための最適化理論入門』
　ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル』