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投稿ミクロ経済学中級

CES型関数における代替の弾力性の求め方(数式)

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複数財におけるCES型関数について、代替の弾力性の導出方法を数式で説明します。
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はじめに

 生産関数や効用関数を特定化するにあたり、使われるCES型関数。
 例えば、$n$財あるとして、産出量を$Y$、生産要素を$x_i$とすると、CES型生産関数は、次のようになります。
 (なお、$a_i$は係数で、$\rho$は定数)

  $\displaystyle Y = \left[ \sum_{i=1}^n a_i x_i^{-\rho}\right]^{-1/\rho} \cdots (1)$

 そして、CES型関数は英語ではConstant elasticity of substitution functionであり、代替の弾力性が一定である関数となっています。

 実際にこのCES型関数において、代替の弾力性を計算するには、どうしたらいいのでしょうか。

 実際に計算方法が分からないという方もいると思うので、導出方法を説明します。

導出方法

 まずは、代替の弾力性を$\sigma$、1次同次の生産関数を$f$とすると、$i$財と$j$財の代替の弾力性について、

  $\displaystyle \sigma = \dfrac{f_i f_j}{Y f_{ij}} \cdots (2)$

という関係があります($f_i$と$f_j$は偏微分、$f_{ij}$は交差偏微分)。
(なお、この式については、「生産要素における代替の弾力性のいくつかの表現」を参考にしてください)

 この式を踏まえて、計算していきましょう。
 $(1)$式について、$x_i$、$x_j$で偏微分し、更に交差偏微分を求めると、次の式が得られます。

  $\displaystyle \dfrac{\partial Y}{\partial x_i} = a_i x_i^{-(\rho + 1)} \left[ \sum_{i=1}^n a_i x_i^{-\rho}\right]^{-(1+\rho)/\rho} $

  $\displaystyle \dfrac{\partial Y}{\partial x_j} = a_j x_j^{-(\rho + 1)} \left[ \sum_{i=1}^n a_i x_i^{-\rho}\right]^{-(1+\rho)/\rho} $

  $\displaystyle \dfrac{\partial Y}{\partial x_i \partial x_j} = (1 + \rho) a_i x_i^{-(\rho + 1)} a_j x_j^{-(\rho + 1)} \left[ \sum_{i=1}^n a_i x_i^{-\rho}\right]^{-(1+2 \rho)/\rho} $

 あとは、これらの式を$(2)$式に代入するだけですが、計算をする上で、このままではごちゃごちゃしているので、

  $\displaystyle A = \left[ \sum_{i=1}^n a_i x_i^{-\rho}\right]$

としておけば、計算が楽になります。

  $\displaystyle \dfrac{\partial Y}{\partial x_i} = a_i x_i^{-(\rho + 1)} A^{-(1+\rho)/\rho} $

  $\displaystyle \dfrac{\partial Y}{\partial x_j} = a_j x_j^{-(\rho + 1)} A^{-(1+\rho)/\rho} $

  $\displaystyle \dfrac{\partial Y}{\partial x_i \partial x_j} = (1 + \rho) a_i x_i^{-(\rho + 1)} a_j x_j^{-(\rho + 1)} A^{-(1+2 \rho)/\rho} $

 CES型関数は1次同次なので、これらを$(2)$式に代入すると、

  $\displaystyle \sigma = \dfrac{(a_i x_i^{-(\rho + 1)} A^{-(1+\rho)/\rho}) \cdot (a_j x_j^{-(\rho + 1)} A^{-(1+\rho)/\rho})}{(A^{-1/\rho}) \cdot ((1 + \rho) a_i x_i^{-(\rho + 1)} a_j x_j^{-(\rho + 1)} A^{-(1+2 \rho)/\rho})}$

から整理すると、

  $\displaystyle \sigma = \dfrac{1}{1 + \rho}$

が成り立ちます。

 $\rho$は定数であり、どの2種類の財についても、代替の弾力性は一定になることが分かります。

参考

  西村和雄『ミクロ経済学

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