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投稿ミクロ経済学中級

生産要素における代替の弾力性のいくつかの表現

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ミクロ経済学の生産者行動において、生産要素に関する代替の弾力性はいくつかの異なる表現方法があります。これらを説明しています。
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代替の弾力性

 ある企業が、2つの生産要素$x_1 , X_2$を生産要素価格$w_1 , w_2$のもとで、生産を行っているものとします。
 このとき、生産要素価格の比$w_1 / w_2$が変化したとき、一定の生産量を実現するため、生産要素の比$x_1 / x_2$も変化することになります。

 この変化率の比は、「代替の弾力性」$\sigma$と呼ばれ、次のように定義されます。

  $\displaystyle \sigma = \; – \dfrac{d(x_1 / x_2) / (x_1 / x_2)}{d(w_1 / w_2) / (w_1 / w_2} = \; – \dfrac{w_1 / w_2}{x_1 / x_2} \cdot \dfrac{d(x_1 / x_2)}{d(w_1 / w_2)}\cdots (1)$

 この代替の弾力性の式について、他にもいくつかの表現があるので、まとめています。

代替の弾力性の別表現

生産関数を用いた表現

 この企業が生産するにあたっての生産関数を$f(x_1 , x_2)$とすると、費用最小化条件から

  $\displaystyle \dfrac{f_1}{f_2} = \dfrac{w_1}{w_2}$

が成り立ちます(なお、$f_1 , f_2$は生産関数$f$に対する$x_1 , X_2$の偏微分)。

 この式を$(1)$式に代入すると、代替の弾力性は、次のように表現されます。

  $\displaystyle \sigma = \; – \dfrac{f_1 / f_2}{x_1 / x_2} \cdot \dfrac{d(x_1 / x_2)}{d(f_1 / f_2)} \cdots (2)$

対数を用いた表現

 対数に関して$d ln y = (1/y) dy$という公式があるので、これを$(2)$式に使うと、

  $\displaystyle \sigma = \; – \dfrac{d ln (x_1 / x_2)}{d ln (f_1 / f_2)}$

という表現にすることもできます。

偏微分を使った表現

 $(2)$式において、$d(x_1 / x_2)$と$d(f_1 / f_2)$というものが出てきます。これを更に計算することが可能です。
 まずは、$d(x_1 / x_2)$について考え、全微分すると、

  $\displaystyle d \left( \frac{x_1}{x_2} \right) = \dfrac{1}{x_2} dx_1 \; – \; \frac{x_1}{x_2} d x_2$

となります。費用最小化条件においては、$d x_2 / d x_1 = \; – f_1 / f_2$が成り立つので、この式から$d x_2$を消去すると、次を得ることができます。

  $\displaystyle d \left( \frac{x_1}{x_2} \right) = \dfrac{x_1 f_1 + x_2 f_2}{x_2^2 f_2} d x_1 \cdots (3)$

 次に、$d(f_1 / f_2)$について考え、全微分すると、

  $\displaystyle d \left( \frac{f_1}{f_2} \right) = \frac{f_2 d f_1 \; – \; f_1 d_f2}{f_2^2}$

となります。ここで、$d f_1$と$d f_2$については、

  $d f_1 = f_{11} d x_1 + f_1 f_2 d x_2$

  $d f_2 = f_{12} f_2 d x_1 + f_{22} d x_2$

ですので、$d x_2 / d x_1 = \; – f_1 / f_2$という式に注意すると、

  $\displaystyle d \left( \frac{f_1}{f_2} \right) = \frac{f_{11} f_2^2 \; – \; 2f_{12} f_1 f_2 + f_{22}f_1^2}{f_2^3} d x_1 \cdots (4)$

を得ることができます。

 そして最後に、$(3)(4)$式を$(2)$式に代入すると、

  $\displaystyle \sigma = \dfrac{f_1 f_2 (f_1 x_1 + f_2 x_2)}{x_1 x_2 (2 f_{12} f_1 f_2 \; – \; f_{11} f_2^2 \; – \; f_{22} f_1^2 )} \cdots (5)$

という式が得られます。

1次同次の場合

 生産関数$f$が1次同次の場合、$f_1$と$f_2$は0次同次になり、オイラーの定理から、
 (オイラーの定理については「オイラーの定理について説明」を参考にしてください)

  $f_1 x_1 + f_2 x_2 = f$

  $f_{11} x_1 + f_{12} x_2 = 0$

  $f_{21} x_1 + f_{22} x_2 = 0$

という式が成立するので、$(5)$式の分母部分について、

  $\displaystyle 2 f_{12} f_1 f_2 \; – \; f_{11} f_2^2 \; – \; f_{22} f_1^2 = \dfrac{f_{12}}{x_1 x_2} f^2$

となるので、$(5)$式は、次のようになります。

  $\displaystyle \sigma = \dfrac{f_1 f_2}{f \cdot f_{12}}$

参考

  西村和雄『ミクロ経済学

  ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル

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