分布収束の定義や演算ルールなどのまとめ

　漸近理論において、収束の考えは重要です。そして、確率収束・分布収束など、いくつかの収束がありますが、その1つである分布収束について、定義はもとより、知っておくと便利な演算のルールについて、まとめました。

　確率変数$x_n$の確率分布を$F_n$とします。
　$n \rightarrow \infty$のとき、確率分布$F_n$が、分布$F$に近づくとき、「分布収束」するといいます。

　数式で表すと、任意の$x$について、次のようになります。

　　$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = F(x)$

　なお、数学的には、次のような形で表されることもあります。

　　$X_n \overset{d}{\longrightarrow} F$　もしくは　$ F_n \overset{d}{\longrightarrow} F$

　確率変数$X_\n$は確率変数$X$に分布収束、確率変数$Y_n$が定数$c$に確率収束するとします。

　　$X_n \overset{d}{\longrightarrow} X$

　　$Y_n \overset{p}{\longrightarrow} c$

　　$X_n \pm Y_n \overset{d}{\longrightarrow} X \pm c$

　　$X_n Y_n \overset{d}{\longrightarrow} c X \quad (c=0$のとき、$X_n Y_n \overset{p}{\longrightarrow} 0)$

　　$X_n / Y_n \overset{d}{\longrightarrow} X / c \quad ($ただし$c \neq 0)$

　$g$を連続関数とすると、次が成り立ちます。

　　$g(X_n) \overset{d}{\longrightarrow} g(X)$

　　$g(Y_n) \overset{p}{\longrightarrow} g(c)$

　次のような実数列$a_n$があるとします。

　　$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty$

　そして、

　　$a_n(X_n \; – \; c) \overset{d}{\longrightarrow} X$

が成り立つとします。

　このとき、次が成り立ちます。

　　$a_n(g(X_n) \; – \; g(c)) \overset{d}{\longrightarrow} g'(c) X$

　　黒住英司『計量経済学』