ある企業が、生産要素$x$を用いて、生産物$y_1 \, , \, y_2$を生産しているとします。
そして、生産関数としては、次のような結合生産の生産関数であるとします。
$y_1^2 + y_2^2 \; – \; x = 0$
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【問題１】
生産物の価格を$p_1 \, , \, p_2$、生産要素の価格を$w$とします。
この企業が利潤最大化を行ったときの生産物$y_1 \, , \, y_2$と生産要素$x$を求めてください。
【回答１】
結合生産の生産関数から、次のようなラグランジュ関数を定義できます。
$L = p_1 y_1 + p_2 y_2 \; – \; wx + \lambda(y_1^2 + y_2^2 \; – \; x)$
$y_i \, , \, x \, , \, \lambda$で偏微分すると、
$\dfrac{\partial L}{\partial y_i} = p_i + 2\lambda y_i= 0 \quad (i = 1 \, , \, 2)$
$\dfrac{\partial L}{\partial x} = \; – \; w \; – \; \lambda = 0$
$\dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = y_1^2 + y_2^2 \; – \; x = 0$
が得られ、これらを解くと、
$y_i = \dfrac{p_i}{2w} \quad (i = 1 \, , \, 2)$
$x = \dfrac{p_1^2 + p_2^2}{4w^2}$
となります。
【問題２】
このときの利潤関数$\pi$を求めてください。
【回答２】
利潤は、
$\pi = p_1 y_1 + p_2 y_2 \; – \; wx$
なので、問題１の$y_i \, , \, x$を代入すると、
$\pi = p_1 \dfrac{p_1}{2w} + p_2 \dfrac{p_2}{2w} \; – \; w \dfrac{p_1^2 + p_2^2}{4w^2} = \dfrac{p_1^2 + p_2^2}{4w}$
という利潤関数が得られます。