2人のプレイヤーAとBがいる場合の、コイン合わせゲームを考えます。
それぞれのプライヤーは表か裏を選択し、そのときの利得が、次のように与えられているとします。
（左側の数値はプレイヤーAの利得、右側の数値はプレイヤーBの数値）
| B | |||
|---|---|---|---|
| 表 | 裏 | ||
| A | 表 | ２：－２ | －１： １ |
| 裏 | －２： ２ | １：－１ | |
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【問題１】
プレイヤーAの最適応答はどうなりますか。
【回答１】
プレイヤーBが$q$の確率で表を選び、$1 \; – \; q$の確率で裏を選ぶとしたとき、プレイヤーAが表を選んだときの期待利得は、
$q \times 2 + (1 \; – \; q) \times (\; – \; 1) = 3q \; – \; 1$
であり、プレイヤーAが裏を選んだときの期待利得は
$q \times (\; – \; 2) + (1 \; – \; q) 1 = \; – \; 3q + 1$
となります。
ここで、$3q \; – \; 1 = \; – \; 3q + 1$は、$q = 1 / 3$であることに注意すると、プレイヤーAの最適応答は、
$q < \dfrac{1}{3}$のとき、$p = 0$
$q = \dfrac{1}{3}$のとき、$0 \leq p \leq 1$
$q > \dfrac{1}{3}$のとき、$p = 1$
となります。
【問題２】
プレイヤーBの最適応答はどうなりますか。
【回答２】
プレイヤーAが$p$の確率で表を選び、$1 \; – \; p$の確率で裏を選ぶとしたとき、プレイヤーBが表を選んだときの期待利得は、
$p \times (\; – \; 2) + (1 \; – \; p) \times 2 = \; – \; 4 p + 2$
であり、プレイヤーBが裏を選んだときの期待利得は
$p \times 1 + (1 \; – \; p) \times (\; – \; 2) = 2p \; – \; 1$
となります。
ここで、$\; – \; 4 p + 2 = 2p \; – \; 1$は、$p= 1 / 2$であることに注意すると、プレイヤーBの最適応答は、
$p < \dfrac{1}{2}$のとき、$q = 1$
$p = \dfrac{1}{2}$のとき、$0 \leq q \leq 1$
$p > \dfrac{1}{2}$のとき、$q = 0$
となります。
【問題３】
このゲームのナッシュ均衡はどうなりますか。
【回答３】
それぞれの最適応答を見ると、
プレイヤーAにとって、$q=\dfrac{1}{3}$のとき、すべての$p$が最適応答
プレイヤーBにとって、$p=\dfrac{1}{2}$のとき、すべての$q$が最適応答
であるので、ナッシュ均衡は、次のようになります。
$p=\dfrac{1}{2}$ 、 $q=\dfrac{1}{3}$