はじめに
マクロ経済学における成長理論の基本として、「ソロー・モデル」（Solow Model）があります。
生産関数が一般的なものについては、「ソロー・モデルを解説（数式あり）」で書いたのですが、技術力があり、生産関数がコブ=ダグラス型の場合ではないので、改めて、コブ=ダグラス型生産関数の場合のソロー・モデルについて、説明したいと思います。
なお、ソロー・モデル自体を知らない方は、まずは下のものを見てください。
ソロー・モデル
生産
$t$期における産出量を$Y_t$、資本を$K_t$、労働力を$L_t$としたとき、企業の生産として、次のようなコブ=ダグラス型生産関数であるとします。
$Y_t = A K^\alpha L^{1-\alpha}$
なお、$A$は技術力で、外生的に産出量に影響を与えるものとします。
ここで、1人当たりの産出量を$y_t$、1人当たりの資本を$k_t$とすると、$y_t = Y_t / L_t$、$k_t = K_t / L_t$であることから、上記の生産関数は、次のように書き直すことができます。
$y_t = A k_\alpha \quad \cdots \quad (1)$
労働力
労働力$L_t$ については、一定の増加率$n$ で増加するとすると、次のようになります。
$ \displaystyle \frac{\dot{L_t}}{L_t} \, = \, n \quad \cdots \quad (2)$
なお、$ \dot{L_t}$ のドットは、時間微分した増加量を表します。
資本
生産量はすべて消費と貯蓄に回るものとし、生産量に対する貯蓄率を$s$ とすると、貯蓄額は$sY_t$ となります。
そしてこの貯蓄は、すべて投資$I_t$に回るとすると、$I_t = s Y_t$となります。
他方、資本は、一定の率 $\delta$で減耗するとしたとき、資本の増分$\dot{K_t}$ は、投資額 $I_t$ に資本の減耗額 $ \delta K_t$ を引いたものになるので、$I_t = s Y_t$に注意すると、次のように表すことができます。
$\dot{K_t} = s Y_t \; – \; \delta K_t \cdots \quad (3)$
1人当たり資本増加額
$(3)$式について、1人当たりの値を求めるため、$L_t$で割ると、
$\dfrac{\dot{K_t}}{L_t} = s y_t \; – \; \delta k_t \quad \cdots \quad (4)$
となります。
ここで、$(4)$式の左辺について
$\dot{k_t} = \dfrac{d (K_t / L_t)}{d t} = \dfrac{\partial (K_t / L_t)}{\partial K_t} \dfrac{d K_t}{d t} + \dfrac{\partial (K_t / L_t)}{\partial L_t} \dfrac{d L_t}{d t}$
$= \dfrac{1}{L_t}\dot{K_t} \; – \; \dfrac{K_t}{L_t^2} \dot{L_t}$
であり、$(2)$式を使うと、
$\dot{k_t} = \dfrac{\dot{K_t}}{L_t} \; – \; n k_t$
となります。これを$(4)$式に代入し、$\dot{K_t} / L_t$をキャンセルすると、
$\dot{k_t} = s y_t \; – \; (\delta + n)k_t$
となり、$(1)$式を使うと、
$\dot{k_t} = s A k_t^\alpha \; – \; (\delta + n)k_t \quad \cdots \quad (5)$
となります。
この式が、ソロー・モデルにおける基本方程式になります。
定常状態
定常状態では、$\dot{k_t} = 0$となるので、$(5)$式と$(1)$式から、1人当たりの資本と産出量は、
$\displaystyle k^{\ast} = \left( \dfrac{\delta + n}{sA} \right)^{1/(\alpha-1)}$
$\displaystyle y^{\ast} = \left( \dfrac{\delta + n}{sA} \right)^{\alpha/(\alpha-1)}$
となります。
また、1人当たりの消費を$c$とし、$c =(1-s)y$に注意すると、定常状態における1人当たり消費は
$\displaystyle c^{\ast} = (1-s) \left( \dfrac{\delta + n}{sA} \right)^{\alpha/(\alpha-1)}$
となります。
参考
齊藤誠・岩本康志・太田聰一・柴田章久『マクロ経済学』