同次性・同次関数について

こんな方におすすめ
同次性
同次関数
規模に関して収穫逓減・一定・逓増
例
まとめ
1. 参考

こんな方におすすめ

　ミクロ経済学でもマクロ経済学においては、0次同次性、1次同次などという言葉が出てきます。
　数学的な話なのですが、経済学においては、重要な考えです。

　なぜならば、この同次性によって、規模に関して収穫一定・収穫逓減などが特徴づけられるからです。逆に言えば、規模に関して収穫一定・収穫逓減などを数学的に表すためのものが、同次性や同次関数ということになります。

　そこで、

　　「同次性や同次関数について知りたい」

　　「数学的に同次性や同次関数を学びたい」

という方のために、投稿を作成しました。

　この同次性・同次関数について、説明したいと思います。

同次性

　同次性とは、ある関数について、そのすべての変数を $t$ 倍したときに、その関数は何倍になるかというものです（ここで、「すべての変数」というのが大事です）。

　普通に考えれば、すべての値を $t$ 倍するですから、その関数も $t$ 倍になると考えれますが、必ずしもそうではありません。すべての値を $t$ 倍しても、その関数の値は全く変わらなかったり、それ以上に大きくなったりする可能性があります。

　この考えを表現したものが、 $t$ 次同次というものです。

　例えば、ある関数について、そのすべての変数を $t$ 倍したときと、その関数は

　　全く変わらない　⇒　0次同次
　　 $t$ 倍になる（倍率がそのまま反映される）　⇒　1次同次

となります。

同次関数

　同次関数とは、上記の同次性を関数で表したものです。

　 $n$ 変数の関数 $f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$ が、任意の $t \textgreater 0$ について、

　　 $f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t^{\alpha} f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$

を満たすとき、この関数を $\alpha$ 次同次関数と言います。
（左辺の $f(\cdot)$ の中にあった $t$ が、右辺では $f(\cdot)$ の外に出ていることに注意してください）

　例えば、

　　 $\alpha=0$ のとき（0次同次）　 $f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$

　　 $\alpha=1$ のとき（1次同次）　 $f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$

となります。

　0次同次では、左辺ですべての $x_i$ を $t$ 倍しても、右辺では全く変わりませんが、1次同次では、右辺で $f(\cdot)$ の外に、 $t$ が出てきても、 $f(\cdot)$ 内で $x_i$ を $t$ 倍しても、値が同じになることを示しています。

規模に関して収穫逓減・一定・逓増

　上記の同次関数から、規模に関して収穫逓減・一定・逓増は、次のような場合になります。

　　 $0 \textless \alpha \textless 1$ のとき、規模に関して収穫逓減

　　 $\alpha = 1$ のとき、規模に関して収穫一定

　　 $\alpha \textgreater 1$ のとき、規模に関して収穫逓増

　それぞれをグラフに書くと、次のようになります（なお、 $y=x^\alpha$ という式で計算してます）。

規模に関して収穫逓減

　規模に関して収穫逓減の場合には、 $x$ の値が大きくなるほど、 $y$ も増加しますが、その増加は徐々に小さくなっています（なお、グラフはエクセルで $\alpha = 0.5$ の場合で描いたものです）。

規模に関して収穫一定

　規模に関して収穫一定には、直線になります。規模に関して収穫一定では、1次同次であり、 $\alpha = 1$ ですので、 $y = x$ という線になります。

規模に関して収穫逓増

　規模に関して収穫逓減の場合には、 $x$ の値が大きくなるほど、 $y$ も増加し、その増加は徐々に大きくなっています（なお、グラフはエクセルで $\alpha = 1.5$ の場合で描いたものです）。

例

　経済学的に、具体的な同次性を見てみるため、需要関数とコブ=ダグラス生産関数について、例を挙げましょう。

需要関数

　需要関数 $D(p_1 , p_2, M)$ については、次のような性質があり、0次同次関数となっています。

　　 $D_i(p_1 , p_2, M) = D(t p_1 , t p_2, t M) \quad (i \, = \, 1, \, 2)$

　例えば、効用関数 $u \, = \, D_1 \, D_2$ 、予算制約式を $p_1 D_1 + p_2 D_2 = M$ とすると、需要関数は、次のようになります。

　　 $\displaystyle D_1 = \dfrac{D_2 p_1}{p_2} \quad , \quad D_2 = \dfrac{D_1 p_2}{p_1}$

　そこで、例えば、 $D_1$ について見ると、

　　 $\displaystyle D_1 = \dfrac{D_2 (t p_1)}{(t p_2)} = \dfrac{D_2 p_1}{p_2}$

となり、0次同次であることが分かります（ $D_2$ も同様です）。

コブ=ダグラス生産関数

　コブ=ダグラス生産関数 $Y = L^a K^{1-a}$ については、

　　 $(t L)^a (t K)^{1-a} = t L^a K^{1-a} = t Y$

であり、1次同次関数となっています。

まとめ

　同次性や同次関数は、規模の経済などを特徴づけていたりと、経済学的には重要です。
　（言い換えると、厳密には違いますが、「規模の経済」「収穫逓減」などの経済学用語を、数学的に言うと「同次関数」などということになるのかもしれません）

　ですので、数学的にもしっかりと覚えておきたいものです。

参考

　奥野正寛『ミクロ経済学』
　クリストファー・クラファム『数学用語小辞典』