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投稿経済数学中級

同次性・同次関数について

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経済学を学んでいると、1次同次だとか、同次関数という言葉が出てくると思います。この同次関数について、説明します。
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こんな方におすすめ

 ミクロ経済学でもマクロ経済学においては、0次同次性、1次同次などという言葉が出てきます。
 数学的な話なのですが、経済学においては、重要な考えです。

 なぜならば、この同次性によって、規模に関して収穫一定・収穫逓減などが特徴づけられるからです。逆に言えば、規模に関して収穫一定・収穫逓減などを数学的に表すためのものが、同次性や同次関数ということになります。

 そこで、

  「同次性や同次関数について知りたい」

  「数学的に同次性や同次関数を学びたい」

という方のために、投稿を作成しました。

 この同次性・同次関数について、説明したいと思います。

同次性

 同次性とは、ある関数について、そのすべての変数t 倍したときに、その関数は何倍になるかというものです(ここで、「すべての変数」というのが大事です)。

 普通に考えれば、すべての値を t 倍するですから、その関数も t 倍になると考えれますが、必ずしもそうではありません。すべての値を t 倍しても、その関数の値は全く変わらなかったり、それ以上に大きくなったりする可能性があります。

 この考えを表現したものが、t 次同次というものです。

 例えば、ある関数について、そのすべての変数を t 倍したときと、その関数は

  全く変わらない ⇒ 0次同次
  t 倍になる(倍率がそのまま反映される) ⇒ 1次同次

となります。

同次関数

 同次関数とは、上記の同次性を関数で表したものです。

 n 変数の関数 f(x_1 \, , \cdots \, , x_n) が、任意の t \textgreater 0 について、

  f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t^{\alpha} f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)

を満たすとき、この関数を \alpha 次同次関数と言います。
(左辺の f(\cdot) の中にあった t が、右辺では f(\cdot) の外に出ていることに注意してください)

 例えば、

  \alpha=0 のとき(0次同次) f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)

  \alpha=1 のとき(1次同次) f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t f(x_1 \, , \cdots \, ,  x_n)

となります。

 0次同次では、左辺ですべての x_it 倍しても、右辺では全く変わりませんが、1次同次では、右辺で f(\cdot) の外に、t が出てきても、f(\cdot) 内で x_it 倍しても、値が同じになることを示しています。

規模に関して収穫逓減・一定・逓増

 上記の同次関数から、規模に関して収穫逓減・一定・逓増は、次のような場合になります。

  0 \textless \alpha \textless 1 のとき、規模に関して収穫逓減

  \alpha = 1 のとき、規模に関して収穫一定

  \alpha \textgreater 1 のとき、規模に関して収穫逓増

 それぞれをグラフに書くと、次のようになります(なお、y=x^\alpha という式で計算してます)。

規模に関して収穫逓減

 規模に関して収穫逓減の場合には、x の値が大きくなるほど、y も増加しますが、その増加は徐々に小さくなっています(なお、グラフはエクセルで \alpha = 0.5 の場合で描いたものです)。

規模に関して収穫一定

 規模に関して収穫一定には、直線になります。規模に関して収穫一定では、1次同次であり、\alpha = 1 ですので、y = x という線になります。

規模に関して収穫逓増

 規模に関して収穫逓減の場合には、x の値が大きくなるほど、y も増加し、その増加は徐々に大きくなっています(なお、グラフはエクセルで \alpha = 1.5 の場合で描いたものです)。

 経済学的に、具体的な同次性を見てみるため、需要関数とコブ=ダグラス生産関数について、例を挙げましょう。

需要関数

 需要関数 D(p_1 , p_2, M) については、次のような性質があり、0次同次関数となっています。

  D_i(p_1 , p_2, M) = D(t p_1 , t p_2, t M) \quad (i \, = \, 1, \, 2)

 例えば、効用関数 u \, = \, D_1 \, D_2 、予算制約式を p_1 D_1 + p_2 D_2 = M とすると、需要関数は、次のようになります。

  \displaystyle D_1 = \dfrac{D_2 p_1}{p_2} \quad , \quad D_2 = \dfrac{D_1 p_2}{p_1}

 そこで、例えば、D_1 について見ると、

  \displaystyle D_1 = \dfrac{D_2 (t p_1)}{(t p_2)} = \dfrac{D_2 p_1}{p_2}

となり、0次同次であることが分かります(D_2 も同様です)。

コブ=ダグラス生産関数

 コブ=ダグラス生産関数 Y = L^a K^{1-a} については、

  (t L)^a (t K)^{1-a} = t L^a K^{1-a} = t Y

であり、1次同次関数となっています。

まとめ

 同次性や同次関数は、規模の経済などを特徴づけていたりと、経済学的には重要です。
 (言い換えると、厳密には違いますが、「規模の経済」「収穫逓減」などの経済学用語を、数学的に言うと「同次関数」などということになるのかもしれません)

 ですので、数学的にもしっかりと覚えておきたいものです。

参考

 奥野正寛『ミクロ経済学
 クリストファー・クラファム『数学用語小辞典

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