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同次性・同次関数について

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投稿経済数学中級
経済学を学んでいると、1次同次だとか、同次関数という言葉が出てくると思います。この同次関数について、説明します。
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こんな方におすすめ

 ミクロ経済学でもマクロ経済学においては、0次同次性、1次同次などという言葉が出てきます。
 数学的な話なのですが、経済学においては、重要な考えです。

 なぜならば、この同次性によって、規模に関して収穫一定・収穫逓減などが特徴づけられるからです。逆に言えば、規模に関して収穫一定・収穫逓減などを数学的に表すためのものが、同次性や同次関数ということになります。

 そこで、

  「同次性や同次関数について知りたい」

  「数学的に同次性や同次関数を学びたい」

という方のために、投稿を作成しました。

 この同次性・同次関数について、説明したいと思います。

同次性

 同次性とは、ある関数について、そのすべての変数を $ t$ 倍したときに、その関数は何倍になるかというものです(ここで、「すべての変数」というのが大事です)。

 普通に考えれば、すべての値を $ t$ 倍するですから、その関数も $ t$ 倍になると考えれますが、必ずしもそうではありません。すべての値を $ t$ 倍しても、その関数の値は全く変わらなかったり、それ以上に大きくなったりする可能性があります。

 この考えを表現したものが、$ t$ 次同次というものです。

 例えば、ある関数について、そのすべての変数を $ t$ 倍したときと、その関数は

  全く変わらない ⇒ 0次同次
  $ t$ 倍になる(倍率がそのまま反映される) ⇒ 1次同次

となります。

同次関数

 同次関数とは、上記の同次性を関数で表したものです。

 $ n$ 変数の関数 $ f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$ が、任意の $ t \gt 0$ について、

  $ f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t^{\alpha} f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$

を満たすとき、この関数を $ \alpha$ 次同次関数と言います。
(左辺の $ f(\cdot)$ の中にあった $ t$ が、右辺では $ f(\cdot)$ の外に出ていることに注意してください)

 例えば、

  $ \alpha=0$ のとき(0次同次) $ f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$

  $ \alpha=1$ のとき(1次同次) $ f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$

となります。

 0次同次では、左辺ですべての $ x_i$ を $ t$ 倍しても、右辺では全く変わりませんが、1次同次では、右辺で $ f(\cdot)$ の外に、$ t$ が出てきても、$ f(\cdot)$ 内で $ x_i$ を $ t$ 倍しても、値が同じになることを示しています。

規模に関して収穫逓減・一定・逓増

 上記の同次関数から、規模に関して収穫逓減・一定・逓増は、次のような場合になります。

  $ 0 \lt \alpha \lt 1$ のとき、規模に関して収穫逓減

  $ \alpha = 1$ のとき、規模に関して収穫一定(CRS)

  $ \alpha \gt 1$ のとき、規模に関して収穫逓増

 それぞれをグラフに書くと、次のようになります(なお、$ y=x^\alpha$ という式で計算してます)。

規模に関して収穫逓減

 規模に関して収穫逓減の場合には、$ x$ の値が大きくなるほど、$ y$ も増加しますが、その増加は徐々に小さくなっています(なお、グラフはエクセルで $ \alpha = 0.5$ の場合で描いたものです)。

規模に関して収穫一定

 規模に関して収穫一定には、直線になります。規模に関して収穫一定では、1次同次であり、$ \alpha = 1$ ですので、$ y = x$ という線になります。

規模に関して収穫逓増

 規模に関して収穫逓減の場合には、$ x$ の値が大きくなるほど、$ y$ も増加し、その増加は徐々に大きくなっています(なお、グラフはエクセルで $ \alpha = 1.5$ の場合で描いたものです)。

 経済学的に、具体的な同次性を見てみるため、需要関数とコブ=ダグラス生産関数について、例を挙げましょう。

需要関数

 需要関数 $ D(p_1 , p_2, M)$ については、次のような性質があり、0次同次関数となっています。

  $ D_i(p_1 , p_2, M) = D(t p_1 , t p_2, t M) \quad (i \, = \, 1, \, 2)$

 例えば、効用関数 $ u \, = \, D_1 \, D_2$ 、予算制約式を $ p_1 D_1 + p_2 D_2 = M$ とすると、需要関数は、次のようになります。

  $ \displaystyle D_1 = \dfrac{D_2 p_1}{p_2} \quad , \quad D_2 = \dfrac{D_1 p_2}{p_1}$

 そこで、例えば、$ D_1$ について見ると、

  $ \displaystyle D_1 = \dfrac{D_2 (t p_1)}{(t p_2)} = \dfrac{D_2 p_1}{p_2}$

となり、0次同次であることが分かります($ D_2$ も同様です)。

コブ=ダグラス生産関数

 コブ=ダグラス生産関数 $ Y = L^a K^{1-a}$ については、

  $ (t L)^a (t K)^{1-a} = t L^a K^{1-a} = t Y$

であり、1次同次関数となっています。

まとめ

 同次性や同次関数は、規模の経済などを特徴づけていたりと、経済学的には重要です。
 (言い換えると、厳密には違いますが、「規模の経済」「収穫逓減」などの経済学用語を、数学的に言うと「同次関数」などということになるのかもしれません)

 ですので、数学的にもしっかりと覚えておきたいものです。

参考

  奥野正寛(編著)『ミクロ経済学

  クリストファー・クラファム『数学用語小辞典

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