同次性・同次関数について

経済学を学んでいると、1次同次だとか、同次関数という言葉が出てくると思います。この同次関数について、説明します。

概要

 ミクロ経済学でもマクロ経済学においては、0次同次性、1次同次などという言葉が出てきます。
 数学的な話なのですが、経済学においては、重要な考えです。

 なぜならば、この同次性によって、規模に関して収穫一定・収穫逓減などが特徴づけられるからです。逆に言えば、規模に関して収穫一定・収穫逓減などを数学的に表すためのものが、同次性や同次関数ということになります。

 そこで、この同次性・同次関数について、説明したいと思います。

同次性

 同次性とは、ある関数について、そのすべての変数を t 倍したときに、その関数は何倍になるかというものです。

 普通に考えれば、すべての値を t 倍するですから、その関数も t 倍になると考えれますが、必ずしもそうではありません。すべての値を t 倍しても、その関数の値は全く変わらなかったり、それ以上に大きくなったりする可能性があります。

 この考えを表現したものが、t 次同次というものです。

 例えば、ある関数について、そのすべての変数を t 倍したときと、その関数は

  全く変わらない ⇒ 0次同次
  t 倍になる(倍率がそのまま反映される) ⇒ 1次同次

となります。

同次関数

 同次関数とは、上記の同次性を関数で表したものです。

 n 変数の関数 f(x_1 \, , \cdots \, , x_n) が、任意のt \textgreater 0 について、

  f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t^{\alpha} f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n)

を満たすとき、この関数を \alpha 次同次関数と言います。

 例えば、

  \alpha=0 のとき(0次同次) f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n)

  \alpha=1 のとき(1次同次) f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n)

となります。

規模に関して収穫逓減・一定・逓増

 上記の同次関数から、規模に関して収穫逓減・一定・逓増は、次のような場合になります。

  0 \textless \alpha \textless 1 のとき、規模に関して収穫逓減

  \alpha = 1 のとき、規模に関して収穫一定

  \alpha \textgreater 1 のとき、規模に関して収穫逓増

 経済学的に、具体的な同次性を見てみるため、例を挙げましょう。

需要関数

 需要関数 D(p_1 , p_2, M) については、次のような性質があり、0次同次関数となっています。

  D(p_1 , p_2, M) = D(t p_1 , t p_2, t M)

コブ=ダグラス生産関数

 コブ=ダグラス生産関数 Y = L^a K^{1-a} については、

  (t L)^a (t K)^{1-a} = t L^a K^{1-a} = t Y

であり、1次同次関数となっています。

経済数学
0 票, 平均: 0.00 / 50 票, 平均: 0.00 / 50 票, 平均: 0.00 / 50 票, 平均: 0.00 / 50 票, 平均: 0.00 / 5 (0 投票, 平均: 0.00 / 5)
この投稿を評価するには、ユーザー登録が必要です。
読み込み中...

コメント

Econome
タイトルとURLをコピーしました