同次性・同次関数について

経済学を学んでいると、1次同次だとか、同次関数という言葉が出てくると思います。この同次関数について、説明します。

概要

　ミクロ経済学でもマクロ経済学においては、0次同次性、1次同次などという言葉が出てきます。
　数学的な話なのですが、経済学においては、重要な考えです。

　なぜならば、この同次性によって、規模に関して収穫一定・収穫逓減などが特徴づけられるからです。逆に言えば、規模に関して収穫一定・収穫逓減などを数学的に表すためのものが、同次性や同次関数ということになります。

　そこで、この同次性・同次関数について、説明したいと思います。

同次性

　同次性とは、ある関数について、そのすべての変数を $t$ 倍したときに、その関数は何倍になるかというものです。

　普通に考えれば、すべての値を $t$ 倍するですから、その関数も $t$ 倍になると考えれますが、必ずしもそうではありません。すべての値を $t$ 倍しても、その関数の値は全く変わらなかったり、それ以上に大きくなったりする可能性があります。

　この考えを表現したものが、 $t$ 次同次というものです。

　例えば、ある関数について、そのすべての変数を $t$ 倍したときと、その関数は

　　全く変わらない　⇒　0次同次
　　 $t$ 倍になる（倍率がそのまま反映される）　⇒　1次同次

となります。

同次関数

　同次関数とは、上記の同次性を関数で表したものです。

　 $n$ 変数の関数 $f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$ が、任意の $t \textgreater 0$ について、

　　 $f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t^{\alpha} f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n)$

を満たすとき、この関数を $\alpha$ 次同次関数と言います。

　例えば、

　　 $\alpha=0$ のとき（0次同次）　 $f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n)$

　　 $\alpha=1$ のとき（1次同次）　 $f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n)$

となります。

規模に関して収穫逓減・一定・逓増

　上記の同次関数から、規模に関して収穫逓減・一定・逓増は、次のような場合になります。

　　 $0 \textless \alpha \textless 1$ のとき、規模に関して収穫逓減

　　 $\alpha = 1$ のとき、規模に関して収穫一定

　　 $\alpha \textgreater 1$ のとき、規模に関して収穫逓増

例

　経済学的に、具体的な同次性を見てみるため、例を挙げましょう。

需要関数

　需要関数 $D(p_1 , p_2, M)$ については、次のような性質があり、0次同次関数となっています。

　　 $D(p_1 , p_2, M) = D(t p_1 , t p_2, t M)$

コブ=ダグラス生産関数

　コブ=ダグラス生産関数 $Y = L^a K^{1-a}$ については、

　　 $(t L)^a (t K)^{1-a} = t L^a K^{1-a} = t Y$

であり、1次同次関数となっています。

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