こんな方におすすめ
ミクロ経済学でもマクロ経済学においては、0次同次性、1次同次などという言葉が出てきます。
数学的な話なのですが、経済学においては、重要な考えです。
なぜならば、この同次性によって、規模に関して収穫一定・収穫逓減などが特徴づけられるからです。逆に言えば、規模に関して収穫一定・収穫逓減などを数学的に表すためのものが、同次性や同次関数ということになります。
そこで、
「同次性や同次関数について知りたい」
「数学的に同次性や同次関数を学びたい」
という方のために、投稿を作成しました。
この同次性・同次関数について、説明したいと思います。
同次性
同次性とは、ある関数について、そのすべての変数を $ t$ 倍したときに、その関数は何倍になるかというものです（ここで、「すべての変数」というのが大事です）。
普通に考えれば、すべての値を $ t$ 倍するですから、その関数も $ t$ 倍になると考えれますが、必ずしもそうではありません。すべての値を $ t$ 倍しても、その関数の値は全く変わらなかったり、それ以上に大きくなったりする可能性があります。
この考えを表現したものが、$ t$ 次同次というものです。
例えば、ある関数について、そのすべての変数を $ t$ 倍したときと、その関数は
全く変わらない ⇒ 0次同次
$ t$ 倍になる（倍率がそのまま反映される） ⇒ 1次同次
となります。
同次関数
同次関数とは、上記の同次性を関数で表したものです。
$ n$ 変数の関数 $ f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$ が、任意の $ t \gt 0$ について、
$ f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t^{\alpha} f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$
を満たすとき、この関数を $ \alpha$ 次同次関数と言います。
（左辺の $ f(\cdot)$ の中にあった $ t$ が、右辺では $ f(\cdot)$ の外に出ていることに注意してください）
例えば、
$ \alpha=0$ のとき（0次同次） $ f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$
$ \alpha=1$ のとき（1次同次） $ f(t \, x_1 \, , \cdots \, , t \, x_n) = t f(x_1 \, , \cdots \, , x_n)$
となります。
0次同次では、左辺ですべての $ x_i$ を $ t$ 倍しても、右辺では全く変わりませんが、1次同次では、右辺で $ f(\cdot)$ の外に、$ t$ が出てきても、$ f(\cdot)$ 内で $ x_i$ を $ t$ 倍しても、値が同じになることを示しています。
規模に関して収穫逓減・一定・逓増
上記の同次関数から、規模に関して収穫逓減・一定・逓増は、次のような場合になります。
$ 0 \lt \alpha \lt 1$ のとき、規模に関して収穫逓減
$ \alpha = 1$ のとき、規模に関して収穫一定
$ \alpha \gt 1$ のとき、規模に関して収穫逓増
それぞれをグラフに書くと、次のようになります（なお、$ y=x^\alpha$ という式で計算してます）。
規模に関して収穫逓減
規模に関して収穫逓減の場合には、$ x$ の値が大きくなるほど、$ y$ も増加しますが、その増加は徐々に小さくなっています（なお、グラフはエクセルで $ \alpha = 0.5$ の場合で描いたものです）。
規模に関して収穫一定
規模に関して収穫一定には、直線になります。規模に関して収穫一定では、1次同次であり、$ \alpha = 1$ ですので、$ y = x$ という線になります。
規模に関して収穫逓増
規模に関して収穫逓減の場合には、$ x$ の値が大きくなるほど、$ y$ も増加し、その増加は徐々に大きくなっています（なお、グラフはエクセルで $ \alpha = 1.5$ の場合で描いたものです）。
例
経済学的に、具体的な同次性を見てみるため、需要関数とコブ=ダグラス生産関数について、例を挙げましょう。
需要関数
需要関数 $ D(p_1 , p_2, M)$ については、次のような性質があり、0次同次関数となっています。
$ D_i(p_1 , p_2, M) = D(t p_1 , t p_2, t M) \quad (i \, = \, 1, \, 2)$
例えば、効用関数 $ u \, = \, D_1 \, D_2$ 、予算制約式を $ p_1 D_1 + p_2 D_2 = M$ とすると、需要関数は、次のようになります。
$ \displaystyle D_1 = \dfrac{D_2 p_1}{p_2} \quad , \quad D_2 = \dfrac{D_1 p_2}{p_1}$
そこで、例えば、$ D_1$ について見ると、
$ \displaystyle D_1 = \dfrac{D_2 (t p_1)}{(t p_2)} = \dfrac{D_2 p_1}{p_2}$
となり、0次同次であることが分かります（$ D_2$ も同様です）。
コブ=ダグラス生産関数
コブ=ダグラス生産関数 $ Y = L^a K^{1-a}$ については、
$ (t L)^a (t K)^{1-a} = t L^a K^{1-a} = t Y$
であり、1次同次関数となっています。
まとめ
同次性や同次関数は、規模の経済などを特徴づけていたりと、経済学的には重要です。
（言い換えると、厳密には違いますが、「規模の経済」「収穫逓減」などの経済学用語を、数学的に言うと「同次関数」などということになるのかもしれません）
ですので、数学的にもしっかりと覚えておきたいものです。