はじめに
時系列モデルにおいて、まずは自己回帰モデル（ARモデル）や移動平均モデル（MAモデル）などを学びますが、どれも基本的には変量が1つの場合のものとなっています。
ただ当然ながら、変量が複数ある場合もあり、ARモデルやMAモデルではどうしようもありません。
そこで、変量が複数の場合に使われるのが、ベクトル自己回帰モデル（VARモデル）です。
ベクトル回帰モデル
モデル
VARモデルは、一般的に、次のようになり、これをVAR(q)モデルやq変量VARモデルと言います。
$\mathbf{y_t} = \mathbf{\Phi_0} + \mathbf{\Phi_1} \mathbf{y_{t-1}} + \mathbf{\Phi_2} \mathbf{y_{t-2}} + \cdots + \mathbf{\Phi_p} \mathbf{y_{t-p}} + \mathbf{u_t}$
右辺の説明変数部分で$\mathbf{y_{t}}$などが入っていないところが一つのポイントです（入っていたら、同時方程式になります）。
なお、それぞれは、
$p$：次数
$\mathbf{\Phi_0}$：定数項ベクトル（$q \times 1$）
$\mathbf{\Phi_k} \quad (k=1 \, , \, \cdots \, , \, q)$：係数行列（$q \times q$）
$\mathbf{u_t}$：誤差項ベクトル（$q \times 1$）
です。
そして、誤差項については、次を仮定します。
$E(\mathbf{u_t}) =\mathbf{0}$
$Var(\mathbf{u_t}) = E(\mathbf{u_t} \mathbf{u’_t}) = \mathbf{\Sigma}$
$E(\mathbf{u_t} \mathbf{u_{t-s}}) =\mathbf{0} \quad (t \neq s)$
定常性条件
他の時系列モデルと同様に、定常性の条件があり、
$|\mathbf{I_n} \; – \; \mathbf{A_1} z \; – \; \mathbf{A_2} z^2 \; – \; \cdots \; – \; \mathbf{A_p} z^p | = 0$
のすべての根$z$の絶対値が1より大きいこととなります。
モデルの推定
モデルにおいて、先決変数のみであり、誤差項に系列相関などはないと仮定しているので、通常のOLSで推定できます。
そして、次数が問題になりますが、AICなどにより判断することになります。
2変量の場合
q変量では直観的にイメージがつかないので、2変量VARモデル（$p=1$）では、次のようになります。
$x_t = \phi_{1} + \phi_{11} x_{t-1} + \phi_{12} y_{t-1} + u_{1}$
$y_t = \phi_{2} + \phi_{21} x_{t-1} + \phi_{22} y_{t-1} + u_{2}$
なお、上記のベクトル・行列表記に合わせると、
$\begin{bmatrix}
x_t \\
y_t
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\phi_{1} \\
\phi_{2} \\
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
\phi_{11} & \phi_{12}\\
\phi_{21} & \phi_{22}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_{t-1} \\
y_{t-1}
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{bmatrix}$
となります。
参考
山本拓『経済の時系列分析』