元金を$S_0$として、金利が$r$のもと、毎期$A$だけ預金するとしたとき、複利において、$t$期後には、預金$S_t$はいくらになっているでしょうか。
電卓やエクセルなどで掛け算などを繰り返せば、計算することができると思いますが、方程式を作ることができるので、説明したいと思います。
まず、$t+1$期における預金$t+1$は、$t$期における預金に対する利子と積立金を足したものなので、次のようになります。
$S_{t+1} = (1 + r) S_t + A$
金利100%はあり得ないので、$r \neq 1$であり、差分方程式の式を使うと、
$S_t = S_0(1+r)^t + A \dfrac{1 \; – \; (1+r)^t}{1 \; – \; (1+r)}$
となります。
そして、式を整理すると、次のようになります。
$S_t = S_0(1+r)^t \; – \; A \dfrac{1 \; – \; (1+r)^t}{r} \quad \cdots \quad (1)$
これが、複利のもとでの積立預金の計算式になります。
例
例として、$(1)$式を使って、次のような場合の預金額を求めてみましょう。
元金（$S_0$）：100,000円
毎期の積立金（$A$）：10,000円
年利（$r$）：1%
運用期間（$t$）：5年
この値を$(1)$式に代入すると、
$S_5 = 100000 \times (1+0.01)^5 \; – \; 10000 \times \dfrac{1 \; – \; (1+0.01)^5}{0.01} = 156111$
となり、5年後の預金額は156,111円になります。
元金と積立金として、150,000円支払っているので、6,111円が5年間の金利の合計になります。