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投稿ミクロ経済学中級

スルツキー方程式の導出方法

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ミクロ経済学のスルツキー方程式について、導出方法を説明します。
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スルツキー方程式

 2財x_i (i=1,2)について、価格をp_i (i=1,2)として、所得をm、効用をuとします。
 そして、需要関数をD_i (i=1,2)、補償需要関数をD_i^u (i=1,2)とします。

 このとき、次が成立し、これを「スルツキー方程式」(Slutsky Equation)と言います。

  \displaystyle \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} - x_j \times \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \quad (i,j = 1,2)

 そして、右辺第1項は代替効果、右辺第2項は所得効果になります。

  代替効果 … \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j}
  所得効果 … \displaystyle x_j \times \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m}

 なお、この代替効果については、p_iが財x_iに与える効果(同じ財)と、p_iが財x_j(他の財)に与える効果があり、それぞれ

  自己代替効果 … \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_i}
  交差代替効果 … \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j}

と呼ばれます。

導出方法

 まずは、補償所得関数E(p_1 , p_2 ,u)を考えると、m = E(p_1 , p_2 ,u)において、需要関数と補償需要関数の間で、次式が成立します。

  D_i^u(p_1 , p_2 ,u) = D_i(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 ,u))

 このことを考慮し、価格p_jで偏微分すると、

  \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} + \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \times \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j}

が得られます。

 ここでマッケンジーの補題(\partial E / \partial p_j = D_j^u)を使うと、

  \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} + \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \times D_j^u(p_1 , p_2 ,u)

となります。

 更に、m = E(p_1 , p_2 ,u)のときには、

  x_j = D_j(p_1 ,p_2 , m) = D_j^u(p_1, p_2 , u)

が成り立つので、

  \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} + \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \times x_j

となり、式を変形すると、

  \displaystyle \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} - x_j \times \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m}

となり、スルツキー方程式が得られます。

参考

  武隈愼一『ミクロ経済学

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