スルツキー方程式
2財$ x_i (i=1,2)$について、価格を$ p_i (i=1,2)$として、所得を$ m$、効用を$ u$とします。
そして、需要関数を$ D_i (i=1,2)$、補償需要関数を$ D_i^u (i=1,2)$とします。
このとき、次が成立し、これを「スルツキー方程式」（Slutsky Equation）と言います。
$ \displaystyle \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} – x_j \times \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \quad (i,j = 1,2)$
そして、右辺第1項は代替効果、右辺第2項は所得効果になります。
代替効果 … $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j}$
所得効果 … $ \displaystyle x_j \times \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m}$
なお、この代替効果については、$ p_i$が財$ x_i$に与える効果（同じ財）と、$ p_i$が財$ x_j$（他の財）に与える効果があり、それぞれ
自己代替効果 … $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_i}$
交差代替効果 … $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j}$
と呼ばれます。
導出方法
まずは、補償所得関数$ E(p_1 , p_2 ,u)$を考えると、$ m = E(p_1 , p_2 ,u)$において、需要関数と補償需要関数の間で、次式が成立します。
$ D_i^u(p_1 , p_2 ,u) = D_i(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 ,u))$
このことを考慮し、価格$ p_j$で偏微分すると、
$ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} + \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \times \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j}$
が得られます。
ここでマッケンジーの補題（$ \partial E / \partial p_j = D_j^u$）を使うと、
$ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} + \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \times D_j^u(p_1 , p_2 ,u)$
となります。
更に、$ m = E(p_1 , p_2 ,u)$のときには、
$ x_j = D_j(p_1 ,p_2 , m) = D_j^u(p_1, p_2 , u)$
が成り立つので、
$ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} + \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \times x_j$
となり、式を変形すると、
$ \displaystyle \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} – x_j \times \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m}$
となり、スルツキー方程式が得られます。
参考
武隈愼一『ミクロ経済学』