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スルツキー方程式の導出方法

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投稿ミクロ経済学中級
ミクロ経済学のスルツキー方程式について、導出方法を説明します。
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スルツキー方程式

 2財$ x_i (i=1,2)$について、価格を$ p_i (i=1,2)$として、所得を$ m$、効用を$ u$とします。
 そして、需要関数を$ D_i (i=1,2)$、補償需要関数を$ D_i^u (i=1,2)$とします。

 このとき、次が成立し、これを「スルツキー方程式」(Slutsky Equation)と言います。

  $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} – x_j \times \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \quad (i,j = 1,2)$

 そして、右辺第1項は代替効果、右辺第2項は所得効果になります。

  代替効果 … $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j}$
  所得効果 … $ \displaystyle x_j \times \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m}$

 なお、この代替効果については、$ p_i$が財$ x_i$に与える効果(同じ財)と、$ p_i$が財$ x_j$(他の財)に与える効果があり、それぞれ

  自己代替効果 … $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_i}$
  交差代替効果 … $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j}$

と呼ばれます。

導出方法

 まずは、補償所得関数$ E(p_1 , p_2 ,u)$を考えると、$ m = E(p_1 , p_2 ,u)$において、需要関数と補償需要関数の間で、次式が成立します。

  $ D_i^u(p_1 , p_2 ,u) = D_i(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 ,u))$

 このことを考慮し、価格$ p_j$で偏微分すると、

  $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} + \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \times \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j}$

が得られます。

 ここでマッケンジーの補題($ \partial E / \partial p_j = D_j^u$)を使うと、

  $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} + \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \times D_j^u(p_1 , p_2 ,u)$

となります。

 更に、$ m = E(p_1 , p_2 ,u)$のときには、

  $ x_j = D_j(p_1 ,p_2 , m) = D_j^u(p_1, p_2 , u)$

が成り立つので、

  $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} + \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m} \times x_j$

となり、式を変形すると、

  $ \displaystyle \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial p_j} = \dfrac{\partial D_i^u(p_1 , p_2 ,u)}{\partial p_j} – x_j \times \dfrac{\partial D_i(p_1 , p_2 ,m)}{\partial m}$

となり、スルツキー方程式が得られます。

参考

  武隈愼一『ミクロ経済学

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