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投稿ミクロ経済学中級

レオンチェフ型生産関数の導出方法・求め方

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レオンチェフ型の生産関数について、数学的な導出方法・求め方を説明します。
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概要

 生産関数を特定化した場合の1つとして、レオンチェフ型生産関数(Leontief function)があります。

 産出量を $ Y$ 、資本を $ K$ 、労働力を $ L$ としたとき、次のようなものです。

  $ Y = min \{aK \; , \; (1 \;- \; a)L \}$

導出方法

 代替の弾力性を $ \rho$ とすると、CES型生産関数は、次のようになります。

  $ Y = [ a K^{-\rho} + (1 \; – \; a) L^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}}$

 まず、$K < L$の場合を考えます。
 この不等式において、$L^{-\rho} < K^{-\rho}$であるから、

  $a K^{-\rho} < a K^{-\rho} + (1 \; – \; a) L^{-\rho} < K^{-\rho}$

が成り立ちます。ここで、$-1/\rho$で割ると、

  $a^{-\frac{1}{\rho}} K > [ a K^{-\rho} + (1 \; – \; a) L^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}} > K$
  
となります。

 ここで、$\rho \rightarrow \infty$とすると、

  $\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow \infty} a^{-\frac{1}{\rho}} = 1$

に注意すると、

  $\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow \infty} Y = K$

を得ることができます。

 逆に、$L < K$の場合を考えると、同様に

  $\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow \infty} Y = L$

となります。

 これらから、

  $ Y = min \{aK \; , \; (1 \;- \; a)L \}$

を導出することができます。

参考

  西村和雄『ミクロ経済学ミクロ経済学』

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