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レオンチェフ型生産関数の導出方法・求め方

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投稿ミクロ経済学中級
ミクロ経済学やマクロ経済学で登場するレオンチェフ型の生産関数について、数学的な導出方法・求め方を説明します。
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概要

 生産関数を特定化した場合の1つとして、レオンチェフ型生産関数(Leontief function)があります。

 産出量を $ Y$ 、資本を $ K$ 、労働力を $ L$ としたとき、次のようなものです。

  $ Y = min \{aK \; , \; (1 \;- \; a)L \}$

導出方法

 代替の弾力性を $ \rho$ とすると、CES型生産関数は、次のようになります。

  $ Y = [ a K^{-\rho} + (1 \; – \; a) L^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}}$

 まず、$K < L$の場合を考えます。
 この不等式において、$L^{-\rho} < K^{-\rho}$であるから、

  $a K^{-\rho} < a K^{-\rho} + (1 \; – \; a) L^{-\rho} < K^{-\rho}$

が成り立ちます。ここで、$-1/\rho$で割ると、

  $a^{-\frac{1}{\rho}} K > [ a K^{-\rho} + (1 \; – \; a) L^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}} > K$
  
となります。

 ここで、$\rho \rightarrow \infty$とすると、

  $\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow \infty} a^{-\frac{1}{\rho}} = 1$

に注意すると、

  $\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow \infty} Y = K$

を得ることができます。

 逆に、$L < K$の場合を考えると、同様に

  $\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow \infty} Y = L$

となります。

 これらから、

  $ Y = min \{aK \; , \; (1 \;- \; a)L \}$

を導出することができます。

参考

  西村和雄『ミクロ経済学ミクロ経済学』

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