平均・分散・標準偏差の1次変換について

平均・分散・標準偏差について1次変換をしたとき、どのようになるか、証明もまじえて説明します。
中級

概要

 あるデータについて、平均・分散・標準偏差が得られたとき、それらについて、足し算や掛け算などをしたいときがあります。

 ある変数について、このような足し算や掛け算を行うことを1次変換と言うのですが、平均・分散・標準偏差について、単純に足したり掛けたりと演算をすることはできません。

 しっかりとした公式があるので、それを説明したいと思います。

1次変換

 公式を説明する前に、1次変換と言う言葉を使ったので、これを説明しておきます。
 1次変換とは、x について、次のような計算をして、z を求めることです。

  z= a x + b

 ここで、a については、分数でも構わないので割り算もでき、b については、マイナスでも構わないので引き算もできることに注意してください。

 すなわち、1次変換で、四則演算ができることになります。

平均・分散・標準偏差の1次変換

 あるデータx_i \, (i=1,\cdots n) について、平均を\mu_x 、分散を\sigma^2_x 、標準偏差を\sigma_x とします。これらについて、1次変換z=ax+b をして、zに関して\mu_z \, , \, \sigma^2_z \, , \sigma_z を求めたいとします。

 このとき、次式が成立します。

  \mu_z = a \mu_x + b

  \sigma^2_z = a^2 \sigma^2_x

  \sigma_z = \left| a \right| \sigma_x

証明

 上記のような式がなぜ成立するのか、証明しておきたいと思います。

 ここでまずは、データx_iについて、平均・分散・標準偏差について、\mu_x \, , \sigma^2_x \, , \sigma_x であることを確認しておきます。

  \mu_x = \dfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} x_i}{n}

  \sigma^2_x = \dfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} (x_i - \mu_x)^2}{n}

  \sigma_x = \displaystyle \sqrt {\dfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} (x_i - \mu_x)^2}{n} }

 それでは、平均・分散・標準偏差それぞれについて、証明をしたいと思います。

平均
 平均について、各データx_i について、a x_i +b を当てはめると、

  \mu_z = \dfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} a x_i + b}{n} = a \dfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} x_i}{n} + b = a \mu_x + b

となります。

分散
 分散について、各データx_i について、a x_i +b を当てはめ、平均の1次変換の式を使うと、

  \sigma^2_x = \dfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} (a x_i  + b - (a \mu_x +b))^2}{n} = \dfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} (a x_i - a \mu_x)^2}{n}  = a^2 \sigma^2_x

となります。

標準偏差
 標準偏差について、各データx_i について、a x_i +b を当てはめ、分散の1次変換の式を使うと、

  \sigma_x = \displaystyle \sqrt {\dfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} ((a x_i  + b - (a \mu_x +b))^2}{n} } = \sqrt{a^2 \sigma^2_x} = \left| a \right| \sigma_x

となります。

統計学
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