凹関数と凸関数

　経済学を学んでいると出てくるものとして、凹関数や凸関数があります。

　凹だの凸だのややこしい感じですが、簡単に言えば、

　　「関数の形状がどういうものか」

を仮定するために使われます。

　凹関数とは、任意の$0 < \alpha < 1$について、

　　$f(\alpha x_1 + (1 \; – \; \alpha)x_2) \geq \alpha f(x_1) + (1 \; – \; \alpha) f(x_2)$

であるとき、関数$f(x)$は、凹関数とされます。

　図で表すと、次のようになります。

　$\alpha f(x_1) + (1 \; – \; \alpha) f(x_2)$は、$f(x_1)$と$f(x_2)$を結んだ直線であり、$\alpha x_1 + (1 \; – \; \alpha)x_2)$は$x_1$と$x_2$の間の値を示しています。

　$\alpha x_1 + (1 \; – \; \alpha)x_2)$は$x_1$と$x_2$の間の値について、関数$f(x)$がこの直線よりも上にあるとき、凹関数とされます。
　（このため、凹関数は「上に凸」と言われたりもします）

　凸関数とは、任意の$0 < \alpha < 1$について、

　　$f(\alpha x_1 + (1 \; – \; \alpha)x_2) \leq \alpha f(x_1) + (1 \; – \; \alpha) f(x_2)$

であるとき、関数$f(x)$は、凸関数とされます。

　図で表すと、次のようになります。

　凹関数とは逆に、$\alpha x_1 + (1 \; – \; \alpha)x_2)$は$x_1$と$x_2$の間の値について、関数$f(x)$がこの直線よりも下にあるとき、凸関数とされます。
　（このため、凸関数は「下に凸」と言われたりもします）

　任意の2点における関数の値$f(x_1)$と$f(x_2)$について、直線を引いたとき、その直線$\alpha f(x_1) + (1 \; – \; \alpha) f(x_2)$よりも

　　関数の値（$f(\alpha x_1 + (1 \; – \; \alpha)x_2)$）が上にある　⇒　凹関数（上に凸）

　　関数の値（$f(\alpha x_1 + (1 \; – \; \alpha)x_2)$）が下にある　⇒　凸関数（下に凸）

となります。

　上記の図をみたとき、生産関数における収穫逓減・収穫逓増のものと同じではと思った方もおられると思います。

　　凹関数　⇒　収穫逓減

　　凸関数　⇒　収穫逓増

　まさしくその通りなのですが、注意が必要です。

　例えば、次のような関数は、凸関数（下に凸）であると言えます。

　しかし到底、収穫逓増を表しているものとは言えないでしょう。この関数では、$x$が大きくなったとき、$f(x)$が減少する部分があるからです。
　ですので、凸関数に加えて、単調増加という仮定が加わると、収穫逓増と言えることになり、注意が必要です。