概要
マクロ経済学において、生産要素などによる成長率への貢献度を計測するものとして、成長会計があります。
産出量を $ Y$、技術進歩を $ A$、資本を $ K$、労働力を $ L$ としたとき、成長会計は次式で表すことができます。
$ \dfrac{d \, Y_t}{Y_t} = \dfrac{d \, A_t}{A_t} + \alpha \dfrac{d \, K_t}{K_t} + \beta \dfrac{d \, L_t}{L_t} \qquad (\alpha >0 \, , \, \beta>0)$
このときどうしたら、このような式になるのかという疑問があるかと思います。
そこで、この成長会計について、導出方法を説明したいと思います。
結果は同じなのですが、2つの導出方法を説明します。
前提
導出にあたり、コブ=ダグラス型を仮定すると、生産関数は、次のようになります。
$ Y_t = A_t K_t^{\alpha} L_t^{\beta} \qquad (\alpha >0 \, , \, \beta>0)$
これを対数化すると、
$ ln \, Y_t = ln \, A_t \, + \, \alpha ln \, K_t \, + \, \beta ln L_t \qquad \cdots \qquad (1)$
が得られます。
この式をベースに、成長会計を導出していくことになります。
このとき、時間差をもとにする方法と微分を使う方法の2つがあります。
導出方法1
$ (1)$ 式について、$ t+1$ 期のものを考えると、
$ ln \, Y_{t+1} = ln \, A_{t+1} \, + \, \alpha ln \, K_{t+1} \, + \, \beta L_{t+1} \qquad \cdots \qquad (2)$
となり、$ (2)$ 式と$ (1)$ 式の差をとると、
$ (ln \, Y_{t+1} \, – \, ln \, Y_t )= (ln \, A_{t+1} \, – \, ln \, A_t) \, + \, \alpha (ln \, K_{t+1} \, – \, ln \, K_t) \, + \, \beta (L_{t+1} \, – \, L_t)$
が得られます。
ここで、対数の差については、$ ln X_{t+1} – ln X_t \simeq (X_{t+1} – X_t) / x_t$ という近似式が成立するので、
$ \dfrac{Y_{t+1} – Y_t}{Y_t} = \dfrac{A_{t+1} – A_t}{A_t} + \alpha \dfrac{K_{t+1} – K_t}{K_t} + \beta \dfrac{L_{t+1} – L_t}{L_t} $
となります。
そして、$ X_{t+1} – X_t = d \, X_t$ と考えると、上記の成長会計が得られます。
なお、対数の差に関する近似については、「対数の近似式について」を参考にしてください。
導出方法2
対数の時間微分を考えたとき、$ d(ln X_t)/dt = (d X_t /dt)/X_t$ という式があるため、これを$ (1)$ 式に適用すると、
$ \dfrac{d \, Y_t / dt}{Y_t} = \dfrac{d \, A_t / dt}{A_t} + \alpha \dfrac{d \, K_t / dt}{K_t} + \beta \dfrac{d \, L_t / dt}{L_t}$
となり、成長会計の式が得られます（上記の成長会計の式は、$ dt$ を省略した形です）。
なお、対数の時間微分に関する公式については、「時間微分した変化率・成長率について」を参考にしてください。
まとめ
どちらの解法・導出方法も、近似式を使ったり、公式を使ったりするので、注意が必要ですが、覚えてしまえば、たいしたことはありません。
数学的にも簡単であり、他にも使うことがあるので、是非とも導出方法は覚えておいてください。
参考
齊藤誠・岩本康志・太田聰一・柴田章久『マクロ経済学』