成長会計の導出方法

マクロ経済学で出てくる成長会計ですが、この成長会計について、数学的な導出方法を説明します。

概要

　マクロ経済学において、生産要素などによる成長率への貢献度を計測するものとして、成長会計があります。

　産出量を $Y$ 、技術進歩を $A$ 、資本を $K$ 、労働力を $L$ としたとき、成長会計は次式で表すことができます。

　　 $\dfrac{d \, Y_t}{Y_t} = \dfrac{d \, A_t}{A_t} + \alpha \dfrac{d \, K_t}{K_t} + \beta \dfrac{d \, L_t}{L_t} \qquad (\alpha >0 \, , \, \beta>0)$

　このときどうしたら、このような式になるのかという疑問があるかと思います。

　そこで、この成長会計について、導出方法を説明したいと思います。
　結果は同じなのですが、2つの導出方法を説明します。

前提

　導出にあたり、コブ=ダグラス型を仮定すると、生産関数は、次のようになります。

　　 $Y_t = A_t K_t^{\alpha} L_t^{\beta} \qquad (\alpha >0 \, , \, \beta>0)$

　これを対数化すると、

　　 $ln \, Y_t = ln \, A_t \, + \, \alpha ln \, K_t \, + \, \beta ln L_t \qquad \cdots \qquad (1)$

が得られます。
　この式をベースに、成長会計を導出していくことになります。

　このとき、時間差をもとにする方法と微分を使う方法の2つがあります。

導出方法1

　 $(1)$ 式について、 $t+1$ 期のものを考えると、

　　 $ln \, Y_{t+1} = ln \, A_{t+1} \, + \, \alpha ln \, K_{t+1} \, + \, \beta L_{t+1} \qquad \cdots \qquad (2)$

となり、 $(2)$ 式と $(1)$ 式の差をとると、

　　 $(ln \, Y_{t+1} \, - \, ln \, Y_t )= (ln \, A_{t+1} \, - \, ln \, A_t) \, + \, \alpha (ln \, K_{t+1} \, - \, ln \, K_t) \, + \, \beta (L_{t+1} \, - \, L_t)$

が得られます。

　ここで、対数の差については、 $ln X_{t+1} - ln X_t \simeq (X_{t+1} - X_t) / x_t$ という近似式が成立するので、

　　 $\dfrac{Y_{t+1} - Y_t}{Y_t} = \dfrac{A_{t+1} - A_t}{A_t} + \alpha \dfrac{K_{t+1} - K_t}{K_t} + \beta \dfrac{L_{t+1} - L_t}{L_t}$

となります。
　そして、 $X_{t+1} - X_t = d \, X_t$ と考えると、上記の成長会計が得られます。

　なお、対数の差に関する近似については、「対数の近似式について」を参考にしてください。

導出方法2

　対数の時間微分を考えたとき、 $d(ln X_t)/dt = (d X_t /dt)/X_t$ という式があるため、これを $(1)$ 式に適用すると、

　　 $\dfrac{d \, Y_t / dt}{Y_t} = \dfrac{d \, A_t / dt}{A_t} + \alpha \dfrac{d \, K_t / dt}{K_t} + \beta \dfrac{d \, L_t / dt}{L_t}$

となり、成長会計の式が得られます（上記の成長会計の式は、 $dt$ を省略した形です）。

　なお、対数の時間微分に関する公式については、「時間微分した変化率・成長率について」を参考にしてください。

まとめ

　どちらの解法・導出方法も、近似式を使ったり、公式を使ったりするので、注意が必要ですが、覚えてしまえば、たいしたことはありません。

　数学的にも簡単であり、他にも使うことがあるので、是非とも導出方法は覚えておいてください。