概要
成長理論などを勉強していると、
$ \dfrac{\dot{Y}}{Y} = \dfrac{\dot{A}}{A} + \dfrac{\dot{K}}{K}$
などと、いきなり、よく分からない式に変形されるということがあると思います。
慣れれば何ともないのですが、初めての方は戸惑うことがあるのではないかと思います。
そこで、このような式の導出を説明したいと思います。
変化率
まずは、$ \dot{X}/X$ の意味を説明します。
$ \dot{X}$ は経済学では、$ d X / d t$を意味することが多く、時間が微小に変化したときの$ X$ の増加を表しています。その増加を$ X$ で割るため、次の式は変化率を表していることになります。
$ \dfrac{\dot{X}}{X}$
時間微分
上記を踏まえ、時間微分に関する公式を説明します。
まずは、
$ f(X) = \ln X$
というものを考えます。このとき、対数の微分の公式 $ d \ln X / d X = 1/ X$ を考慮において、この式を時間 $ t$ で微分すると、
$ \dfrac{d f(X)}{d t} = \dfrac{d f(X)}{d X} \cdot \dfrac{d X}{d t} = \dfrac{d \ln X}{d X} \cdot \dfrac{d X}{d t} = \dfrac{d X / t}{X} = \dfrac{\dot{X}}{X}$
というように、対数 $ \ln X$ を時間で $ t$ で微分したとき、変化率の式になることが分かります。
すっきりさせると、
$ \dfrac{d \ln X}{d t} = \dfrac{\dot{X}}{X} \qquad \cdots \qquad (1)$
という式が成立していることになります。
例：生産関数の時間微分
このように、対数を時間微分すれば、変化率になることが分かったかと思います。
ここまで来れば、冒頭の式について、もう理解できるかもしれませんが、念のため、丁寧に説明すると、生産関数 $ Y =AK$ を対数化させると、
$ \ln Y = \ln A + \ln K$
が成立するので、$ (1)$ 式を使って、時間微分すると、
$ \dfrac{\dot{Y}}{Y} = \dfrac{\dot{A}}{A} + \dfrac{\dot{K}}{K}$
となります。
まとめ
決して難しい計算ではありませんし、$ (1)$ 式も難しい式ではありません。
ただ、成長理論などを勉強していると、必ず出てくる計算方法なので、是非とも覚えておいてほしいと思います。
（例えば、成長会計の導出で出てきたりします。合わせて「[idlink id=822」をご覧ください）