時間微分した変化率・成長率について

成長理論などで、変化率を表すときに時間微分したものが用いられることがあります。慣れれば難しくないのですが、その導出方法や考え方を説明します。

概要

 成長理論などを勉強していると、

 生産関数 Y=AK を時間微分すると、次のように変形できる。

  \dfrac{\dot{Y}}{Y} = \dfrac{\dot{A}}{A} + \dfrac{\dot{K}}{K}

などと、いきなり、よく分からない式に変形されるということがあると思います。

 慣れれば何ともないのですが、初めての方は戸惑うことがあるのではないかと思います。
 そこで、このような式の導出を説明したいと思います。

変化率

 まずは、\dot{X}/X の意味を説明します。
 \dot{X} は経済学では、d X / d tを意味することが多く、時間が微小に変化したときのX の増加を表しています。その増加をX で割るため、次の式は変化率を表していることになります。

  \dfrac{\dot{X}}{X}

時間微分

 上記を踏まえ、時間微分に関する公式を説明します。
 まずは、

  f(X) = \ln X

というものを考えます。このとき、対数の微分の公式 d \ln X / d X = 1/ X を考慮において、この式を時間 t で微分すると、

  \dfrac{d f(X)}{d t} = \dfrac{d f(X)}{d X} \cdot \dfrac{d X}{d t} = \dfrac{d \ln X}{d X} \cdot \dfrac{d X}{d t} = \dfrac{d X / t}{X} = \dfrac{\dot{X}}{X}

というように、対数 \ln X を時間で t で微分したとき、変化率の式になることが分かります。

 すっきりさせると、

  \dfrac{d \ln X}{d t} = \dfrac{\dot{X}}{X} \qquad \cdots \qquad (1)

という式が成立していることになります。

例:生産関数の時間微分

 このように、対数を時間微分すれば、変化率になることが分かったかと思います。
 ここまで来れば、冒頭の式について、もう理解できるかもしれませんが、念のため、丁寧に説明すると、生産関数 Y =AK を対数化させると、

  \ln Y = \ln A + \ln K

が成立するので、(1) 式を使って、時間微分すると、

  \dfrac{\dot{Y}}{Y} = \dfrac{\dot{A}}{A} + \dfrac{\dot{K}}{K}

となります。

まとめ

 決して難しい計算ではありませんし、(1) 式も難しい式ではありません。

 ただ、成長理論などを勉強していると、必ず出てくる計算方法なので、是非とも覚えておいてほしいと思います。
 (例えば、成長会計の導出で出てきたりします。合わせて「成長会計の導出方法」をご覧ください)

経済数学
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