はじめに
期待値は$E(\cdot)$、分散は$V(\cdot)$、共分散は$Cov(\cdot , \cdot)$としています。
その上で、期待値・分散・共分散の式は次の通りです。
期待値
定義
離散型： $\displaystyle E(X) = \sum^n_{i=1} p_i x_i$ （ただし、$\displaystyle \sum^n_{i=1} p_i=1$）
連続型： $\displaystyle E(X) = \int^{\infty}_{-\infty} xf(x) dx$
公式
$E(a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n + b) = a_1 E(X_1) + \cdots + a_n E(X_n) + b$
$Cov(X , Y)=0$のとき（無相関のとき） $E(XY) = E(X) E(Y)$
分散
定義
$V(X) = E[(X – E(X))^2]$
公式
$V(X) = E(X^2) – E(X)^2$
$V(aX + b) = a^2 V(X)$
$V(aX \pm bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y) \pm 2 ab Cov(XY)$
共分散
定義
$Cov(X , Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]$
公式
$Cov(X , Y) = E(XY) – E(X)E(Y)$
参考
ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル』