スポンサーリンク
投稿経済数学初級

確率変数の公式まとめ

スポンサーリンク
経済学で確率変数を用いることも多いことから、確率変数の公式をいくつかまとめています。
スポンサーリンク
スポンサーリンク
スポンサーリンク

はじめに

 期待値は$E(\cdot)$、分散は$V(\cdot)$、共分散は$Cov(\cdot , \cdot)$としています。

 その上で、期待値・分散・共分散の式は次の通りです。

期待値

定義

 離散型: $\displaystyle E(X) = \sum^n_{i=1} p_i x_i$ (ただし、$\displaystyle \sum^n_{i=1} p_i=1$)

 連続型: $\displaystyle E(X) = \int^{\infty}_{-\infty} xf(x) dx$

公式

 $E(a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n + b) = a_1 E(X_1) + \cdots + a_n E(X_n) + b$

 $Cov(X , Y)=0$のとき(無相関のとき) $E(XY) = E(X) E(Y)$

分散

定義

 $V(X) = E[(X – E(X))^2]$

公式

 $V(X) = E(X^2) – E(X)^2$

 $V(aX + b) = a^2 V(X)$

 $V(aX \pm bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y) \pm 2 ab Cov(XY)$

共分散

定義

 $Cov(X , Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]$

公式

 $Cov(X , Y) = E(XY) – E(X)E(Y)$

参考

  ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル

スポンサーリンク
タイトルとURLをコピーしました