対数の近似式について

概要

　経済学において、式の導出過程で、例えば、

　 $r$ が $0$ に近ければ、次のような近似式が整理する

　　 $\ln (1 + r) \simeq r$

というような話がいきなり出てきたりします。

　 $r$ が $0$ に近いということは、 $r$ の値がむちゃくちゃ小さいということだから、何となく成立するだろうなと思ったりもして、それ以上、深く考えずに受け入れたり、その考えを知らずに単に暗記したりしていることがあるかと思います。

　実際に計算してみて、 $0.02$ の場合、 $r=0.02$ で $(1+r)= 0.0198$ などとなり、やっぱり似たような数字になるなと、何となくわかった気がしたりもします。

　ただ、この式には、級数展開の考えがあるので、この意味合いを覚えておきましょう。

対数の級数展開

　上記の式の背景には、対数に関する級数展開について、 $-1 \textless x \leq 1$ に対して、

　　 $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \cdots$

という公式がまず前提としてあります。

（参考）
　この公式は、マクローリン展開すれば、得ることができます。
　マクローリン展開の公式は、次のようなものです。

　　 $f(x) = f(0) + f'(0) \dfrac{x}{1!} + f"(0) \dfrac{x^2}{2!} + f^{(3)}(0) \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$

　ここで、 $f(x) = \ln(1+x)$ の場合を考えましょう。
　 $\ln 1 = 0$ であることを注意すると、

　　 $f(0) = \ln 1 = 0$

　　 $f'(x) = (1 + x)^{-1}$ なので、 $x=0$ のときには、 $f'(0) = (1)^{-1} = 1$

　　 $f"(x) = - (1 + x)^{-2}$ なので、 $x=0$ のときには、 $f'(0) = - (1)^{-2} = -1$

　　 $f^{(3)}(x) = 2 (1 + x)^{-3}$ なので、 $x=0$ のときには、 $f'(0) = 2 (1)^{-3} = 2$

などが得られるので、上記のマクローリン展開の式に代入すると、対数に関する級数展開の公式を導出できます。