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ポワソン分布の平均・分散の導出方法

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投稿統計学中級
統計学において、ポワソン分布の平均・分散の導出方法を説明します。
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ポワソン分布

 ポワソン分布は、確率変数$X$について、次のような確率関数です。

  $p(x) = Pr(X=x) = \dfrac{\lambda^x \cdot e^{-\lambda}}{x!} \quad ( x = 0 \, , \, 1 \, , \, 2 \, , \, \cdots )$

 なお、$\lambda$はパラメーターで、$\lambda > 0$です。

ポワソン分布の平均

 ポワソン分布の確率関数を用いると、

  $\displaystyle E(X) = \sum_{i=0}^\infty x p(x) = \sum_{i=0}^\infty x \dfrac{\lambda^x \cdot e^{-\lambda}}{x!} = \lambda \sum_{i=0}^\infty \dfrac{\lambda^{x \; – \; 1} \cdot e^{-\lambda}}{(x \; – \; 1)!}$

となります。

 ここで、$x \; – \; 1 = k$とすると、

  $\displaystyle E(X) = \lambda \sum_{i=0}^\infty \dfrac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!} = \lambda \sum_{i=0}^\infty p(k)$

となり、$\sum_{i=0}^\infty p(k) = 1$であることから、

  $E(X) = \lambda$

となり、ポワソン分布の平均は$\lambda$となります。

ポワソン分布の分散

 ポワソン分布の平均$\lambda$であることから

  $\displaystyle V(X) = \sum_{i=0}^\infty x^2 p(x) \; – \; \lambda^2 =\sum_{i=0}^\infty x(x \; – \; 1) p(x) + \sum_{i=0}^\infty x p(x) \; – \; \lambda^2 = \sum_{i=0}^\infty x(x \; – \; 1) p(x) + \lambda \; – \; \lambda^2$

となります。

 この式に、ポワソン分布の確率関数の式を使うと、次のようになります。

  $\displaystyle V(X) = \sum_{i=0}^\infty x(x \; – \; 1) \dfrac{\lambda^x \cdot e^{-\lambda}}{x!} + \lambda \; – \; \lambda^2 = \lambda^2 \sum_{i=0}^\infty \dfrac{\lambda^{x \; – \; 2} \cdot e^{- \lambda}}{(x \; – \; 2)!} + \lambda \; – \; \lambda^2$

 ここで、$x \; – \; 2 = k$とすると、

  $\displaystyle V(X) = \lambda^2 \sum_{i=0}^\infty \dfrac{\lambda^k \cdot e^{- \lambda}}{k!} + \lambda \; – \; \lambda^2 = \lambda^2 \sum_{i=0}^\infty p(k) + \lambda \; – \; \lambda^2$

であり、$\sum_{i=0}^\infty p(k) = 1$であることから、

  $V(X) = \lambda^2 + \lambda \; – \; \lambda^2 = \lambda$

となり、ポワソン分布の分散は$\lambda$となります。

参考

  国沢清典・羽鳥裕久『数理統計演習

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