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「節約のパラドックス」を数式で説明

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投稿マクロ経済学初級
経済学における「節約のパラドックス」について、数式的にどのようなものなのかを説明しています。
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はじめに

 節約のパラドックスとは、

  誘発投資が存在する場合に、限界貯蓄性向が上昇すると、貯蓄は減少する

というものです。

 直観的には、国民がより貯蓄をするようになり、限界貯蓄性向が上昇すれば、貯蓄は増えるはずなのですが、むしろ逆になる状況です。

 ただ、どのような場合にもこの状況が生じるわけではなく、誘発投資が存在する場合とされています。誘発投資とは、総所得が増えると、投資が増えるというものです。

 グラフでは、「貯蓄に関する「節約のパラドックス」について」で説明しています、数式で考えてみましょう。

節約のパラドックス

 総所得を$Y$、限界貯蓄性向を$s$とすると、貯蓄$S$は、次のようになります。

  $S = s Y \quad (0 \leq s \leq 1)$

 次に、投資を$I$として、独立投資を$\bar{I}$、限界投資性向を$\beta$とすると、投資は、次のようになります。

  $I = \bar{I} + \beta Y \quad (\beta > 0)$

 総所得$Y$が大きいほど、投資$I$も大きくなる誘発投資が存在する投資関数となっています。

 ここで、上記の貯蓄と投資に関する2式から、$Y$をキャンセルし整理すると、

  $\beta S = s I \; – \; s \bar{I}$

となり、貯蓄と投資が均衡すると、$S = I$が成立するので、貯蓄について式を整理すると、

  $S = \dfrac{s}{s \; – \; \beta}\bar{I}$

を得ることができます。

 限界貯蓄性向の貯蓄への影響を見るため、この式について、$s$で微分すると、

  $\dfrac{d S}{d s} = \dfrac{s \; – \; \beta \; – \; 1}{(s \; – \; \beta)^2} \bar{I}$

となります。

 この式から、節約のパラドックスが生じる$d S / d s < 0$となるのは、

  $s < \beta + 1$

となります。

 ここで、$0 \leq s \leq 1$であり、$\beta > 0$なので、この条件は成立していることが分かります。

 すなわち、誘発投資が存在すれば、節約のパラドックスが成立することになります。

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