はじめに
時系列モデルにおいて、ARモデル（自己回帰モデル）とMAモデル（移動平均モデル）は、反転が可能であると言われます。
すなわち、ARモデルについて、式変形するとMAモデルとなり、MAモデルは、式変形するとARモデルになるというものです。
ARモデル ⇒ MAモデル
MAモデル ⇒ ARモデル
どうしてそうなるのか、数式を丁寧に追いながら、MA(1)モデルからAR(∞)モデルへの反転について、説明したいと思います。
MAモデルからARへの反転
MA(1)モデル
次のようなMA(1)モデルを考えるとします。
$y_t = \mu + u_t \; – \; \alpha u_{t-1} \quad \cdots \quad (1)$
ここで、$u_t$は攪乱項で、ホワイト・ノイズです。
反転可能性
ARモデルにおける定常性の条件に対応するものとして、MA(1)のパラメーターについて、次が満たされているとします。
$|\alpha| < 1 \quad \cdots \quad (2)$
式変形
上記のもとで、式変形をして、ARモデルを導出しようと思います。
まずは、$(1)$式より、
$u_t = \; – \; \mu + \alpha u_{t-1} + y_t$
となります。これに、1期ずらした$u_{t-1} = \; – \; \mu + \alpha u_{t-2} + y_{t-1}$を代入すると、
$u_t = \; – \; \mu + \alpha (\; – \; \mu + \alpha u_{t-2} + y_{t-1}) + y_t = \; – \; \mu \; – \; \alpha \mu + \alpha^2 u_{t-2} + y_t + \alpha y_{t-1}$
となります。これに、1期ずらした$u_{t-2} = \; – \; \mu + \alpha u_{t-3} + y_{t-2}$を代入すると、
$u_t = \; – \; \mu \; – \; \alpha \mu + \alpha^2 (\; – \; \mu + \alpha u_{t-3} + y_{t-2}) + y_t + \alpha y_{t-1}$
$= \; – \; \mu \; – \; \alpha \mu \; – \; \alpha^2 \mu + \alpha^3 u_{t-3} + y_t + \alpha y_{t-1} + \alpha^2 y_{t-2}$
となります。
このような操作を無限大まで繰り返すと、
$\displaystyle u_t = [ \; – \; \mu (1 + \alpha + \alpha^2 + \quad \cdots) ] + \lim_{i \rightarrow \infty} \alpha^i u_{t-i} + [ y_t + \alpha y_{t-1} + \alpha^2 y_{t-2} + \cdots ]$
となります。ここで反転可能性の条件である$(2)$式から、
$\displaystyle \lim_{i \rightarrow \infty} \alpha^i u_{t-i} = 0$
なので、整理すると、
$\displaystyle u_t = \; – \; \mu \sum_{i=0}^\infty \alpha^i + \sum_{i=0}^\infty \alpha^i y_{t-i}$
となり、無限級数の和の公式から
$\displaystyle u_t = \; – \; \dfrac{\mu}{1 \; – \; \alpha} + \sum_{i=0}^\infty \alpha^i y_{t-i}$
であり、次のようになります。
$\displaystyle y_t = \dfrac{\mu}{1 \; – \; \alpha} \; – \; \sum_{i=1}^\infty \alpha^i y_{t-i} + u_t$
これはまさしく、AR(∞)モデルなのですが、一般的なAR(∞)モデルのパラメーターに合わせるため、
$\mu’ = \dfrac{\mu}{1 \; – \; \alpha} \quad , \quad \beta^i = \; – \; \alpha^i$
とすると、
$\displaystyle y_t = \mu’ + \sum_{i=1}^\infty \beta^i y_{t-i} + u_t$
となります。
参考
山本拓『経済の時系列分析』