ミクロ経済学における生産者行動において、利潤を$\pi$、生産量を$x$、価格を$p$とし、費用関数を$c(x)$とすると、生産者は、次のような利潤を最大化することになります。
$\pi = px \; – \; c_(x)$
なお、費用関数は収穫逓増するものとします（多く生産するほど、費用の増分が大きくなる）。
生産者はプライステーカーとして行動するため、$p$を所与として、$x$を調整することになるので、この利潤式を生産量で微分すると、
$\dfrac{d \pi}{d x} = p \; – \; c’_(x) = 0$
なので、次式のように、限界費用と価格が一致することが、生産者の利潤最大化の条件になります。
$p = c’_(x)$
そして、この式を$x$について解くと、次のような供給関数$s(p)$を定義することができます。
$x = s(p)$
なお、$p = c’_(x)$式を考えると、価格が上昇したとき、生産量も増加させることができるので、横軸に生産量、縦軸に価格をとったグラフにおいては、この供給関数は右上がりになることが分かります。
損益分岐価格（生産中止価格）
上記のように供給関数を導出することができるのですが、生産量が小さいときには、利潤がマイナスになる可能性があります。
言い換えれば、利潤関数において、
$\pi = px \; – \; c_(x) > 0$
が成立している必要があります。この式を変形すると、
$p > \dfrac{c(x)}{x}$
であり、価格は平均費用以上である必要があります。
逆に言えば、価格が平均費用よりも低いときには、利潤はマイナス・赤字となるので、この生産者はむしろ生産を行わないほうがいいでしょう。
このように、生産を行うか否かの分岐点である価格を「損益分岐価格（生産中止価格）」と言います（なお、生産量をベースに考えたとき「操業停止点」とも言われます）。
ここで、損益分岐価格を$\bar{p}$とすると、$p > \bar{p}$ならば生産が行われ、$p < \bar{p}$ならば生産は行われないので、供給関数は、次のようになります。
$\begin{equation}
x =
\begin{cases}
0 & (p < \bar{p}) \\
s(p) & (p \geq \bar{p})
\end{cases}
\end{equation}$
参考
奥野正寛（編著）『ミクロ経済学』