【問題】
箱に黒玉と白玉が入っており、箱から2回、玉を取り出す場合を考えます。
箱の中には、黒玉が$b$個、白玉が$w$個入っているとします。
このとき、黒玉を引き当てるのに、1回目と2回目でどちらが有利ですか？
※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。
【回答】
1回目に黒玉を引く事象を$A$として、白玉を引く事象（黒玉を引く事象の余事象）を$\bar{A}$とします、
このとき、1回目の黒玉、白玉を引く確率は、次の通りです。
$P(A) = \dfrac{b}{b + w}$
$P(\bar{A}) = \dfrac{w}{b + w}$
2回目に黒玉を引く事象を$B$とすると、1回目に黒玉を引いたときには、黒玉が1個減っているので、
$P(B | A) = \dfrac{b \, – \, 1}{b + w \, – \, 1}$
であり、1回目に白玉を引いたときには、白玉が1個減っているので、
$P(B | \bar{A}) = \dfrac{b}{b + w \, – \, 1}$
となります。
この上で、2回目に黒玉を引くという事象$B$についての確率は、完全確率の定理を用いると、
$P(B) = P(A)P(B |A) + P(\bar{A})P(B | \bar{A}) = \dfrac{b}{b + w} \cdot \dfrac{b \, – \, 1}{b + w \, – \, 1} + \dfrac{w}{b + w} \cdot \dfrac{b}{b + w \, – \, 1} = \dfrac{b}{b + w}$
※完全確率の定理については、「確率論における完全確率の定理について」
であり、
$P(A) = P(B)$
となります。
このことから、黒玉を引き当てるのに、1回目と2回目では、違いはないということになります。