はじめに
計量経済学において、誤差項に系列相関があるときには、古典的なOLSをそのまま使うわけにはいきません。
例えば、説明変数が1つのモデルについて
$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + u_i \quad \cdots \quad (1)$
$u_i = \rho u_{t-1} +\epsilon_i \quad (|\rho|<1) \quad \cdots \quad (2)$
$E(u_i) = 0 \quad , \quad E(u_i^2) = \sigma^2 \quad , \quad E(u_i u_j) = 0 \; (i \neq j)$
というように、誤差項がAR(1)となっている場合です。
OLSを使っても、BLUEとならないので、違う推定法を使う必要があります。
その1つとして、コクラン=オーカット法（Cochrane-Orcutt法）があります。
コクラン=オーカット法
まずは、$(1)$式をOLSで推定して、残差
$\hat{u_i} = y_i \; – \; \hat{y_i}$
を求めます。
次にこの残差を使って、$(2)$式を推定します。すなわち、
$\hat{u_i} = \rho \hat{u_{t-1}} +\epsilon_i$
について、OLSを行い、$\rho$を推定します。
$\rho$の推定量$\hat{\rho}$を$(1)$式に掛けると、
$\hat{\rho} y_i = \hat{\rho} \beta_0 + \hat{\rho} \beta_1 x_i + \hat{\rho} u_i$
が得れば、一期ずらして、$(1)$式との差を求めると、次のようになります。
$y_i \; – \; \hat{\rho} y_{i-1} = (\beta_0 \; – \; \hat{\rho} \beta_0) + (\beta_1 x_i \; – \; \hat{\rho} \beta_1 x_{i-1} ) + (u_i \hat{\rho} \; – \; u_{i-1})$
ここで、
$\tilde{y_i} = y_i \; – \; \hat{\rho} y_{i-1} \quad , \quad \tilde{\beta_0} = \beta_0 \; – \; \hat{\rho} \beta_0 \quad , \quad \tilde{x_i} =x_i \; – \; \hat{\rho} x_{i-1} \quad , \quad \tilde{u_i} = u_i \hat{\rho} \; – \; u_{i-1}$
とすると、
$\tilde{y_i} = \tilde{\beta_0} + \beta_1 \tilde{x_i} + \tilde{u_i}$
であり、これにOLSを適用すれば、$\tilde{\beta_0}$と$\beta_1$の推定量を得ることができます。
参考
黒住英司『計量経済学』
羽森茂之『ベーシック計量経済学』