はじめに
IS-LM分析において、IS曲線は財市場を対象としたもので、横軸に所得、縦軸に利子率をとると、右下がりの曲線として表されます。
このIS曲線について、閉鎖経済におけるモデルを、数式により導出をしたいと思います。
IS曲線の導出
IS曲線を考える前に、消費・投資・政府支出を考えます。
まずは、所得を$Y$、消費を$C$、限界消費性向を$c$、税金を$T$とすると、消費関数は次のようになります。
$C = \bar{C} + c (Y \; – \; T) \quad (0 < c < 1)$
ここで、右辺第1項の$\bar{C}$は独立消費であり、所得とは無関係に必要な消費額を表しています。右辺第2項は、所得に応じた消費額であり、所得から税金を除いた可処分所得のうち、限界消費性向$c$だけ消費が行われることになります。
次に、投資を$I$、実質金利を$r$とすると、投資関数は、次のようになります。
$I = \bar{I} \; – \; e r$
ここで、右辺第1項の$\bar{I}$は独立投資であり、実質金利とは無関係に行われる投資額を表しています。右辺第2項は、金利により投資が抑制される効果を表しており、係数の$e$は金利感応度を表しています。
最後に、政府支出は、政府の意向により増減されるものなので、所得や金利には影響されずに行われることになります。
$G$
以上から、IS曲線を導出しましょう。
総所得は、次式のようになります（総所得=総支出が成り立っています）。
$Y = C + I +G$
この式に、上記の消費・投資・政府支出の式を代入すると、
$Y = \bar{C} + c (Y \; – \; T) + \bar{I} \; – \; e r +G$
であり、$Y$について解くと、
$\displaystyle Y = \dfrac{1}{1 \; – \; c}(\bar{C} \; – \; c T + \bar{I} \; – \; e r +G)$
というIS曲線の式を得ることができます。
なお、この式で、
$\dfrac{d r}{d Y} < 0$
が成り立っているので、IS曲線は式からも右下がりであることが分かります。
IS曲線の財政政策の効果
IS曲線の式に基づいて、政府による財政政策の効果を考えましょう。財政政策なので、政府支出と税金を変更することになります。
そして、政府支出や税金を増減することで、IS曲線は右や左にシフトすることになります。
これを数式で見てみましょう。
IS曲線の式について、政府支出$G$と税金$T$で微分すると、
$\displaystyle \dfrac{d Y}{d G} = \dfrac{1}{1 \; – \; c} > 0$
$\displaystyle \dfrac{d Y}{d T} = – \dfrac{c}{1 \; – \; c} < 0$
となります（この効果を乗数効果と言います）。
政府支出を増加させれば、所得は増加し、増税を行えば、所得が低下することが分かります。
更に、政府支出増加と減税はいずれも、所得の増加を招くのですが、上記の式から、政府支出では$1/(1 \; – \; c)$の乗数効果ですが、減税では$c/(1 \; – \; c)$の効果しかないことが分かります。
$\dfrac{d Y}{d G} = \dfrac{1}{1 \; – \; c} > \dfrac{c}{1 \; – \; c} = -\dfrac{d Y}{d T}$
このことから、IS-LM分析では、同じ財政政策を行うにしても、減税ではなく政府支出の拡大をしたほうがいいとされます。
参考
齊藤誠・岩本康志・太田聰一・柴田章久『マクロ経済学』