定理
$\Omega$を全事象とし、$B_1 \, , \, B_2 \, , \cdots$を、次を満たすような互いに排反する事象とします。
$B_1 \cup B_2 \cup \cdots = \Omega$
$P(B_i) \neq 0 \quad (i = 1 \, , \, 2 \, , \cdots)$
このとき、任意の事象$A$について、
$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \cdots$
が成り立ちます。
証明
$B_1 \cup B_2 \cup \cdots = \Omega$から、少なくとも1つの$B_i$が生起するため、任意の事象$A$を考えたとき、少なくとも1つの$A \cap B_i$が生起することになることから、
$A = (A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) \cup \cdots$
が成り立つ。
確率の公理から、この式は、
$P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) \cup \cdots$
であり、確率の乗法定理から、
$P(A) = P(B_1)Pr(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \cdots$
を得ることができます。