対数の近似式 ln(1+x)=xをグラフで見てみる

はじめに

　経済学において、対数に関する近似式

　　$\ln (1 + x) = x$

が用いられることがあります。

　例えば、金利$r$について、$\ln (1+r)$は、$r$が小さいときには、$r$に近似されると言われたりします。

　数学的な導出方法について、次を見てほしいのですが、ここでは、図・グラフで、視覚的にこの近似式についてみてみます。

　$\ln (1+x)$について、横軸に$x$、縦軸に$\ln (1+x)$として、$x$の変化を見てみます。

　まずは、$x$が0から5に変化したときのグラフです。

　$x$の増加と共に、$\ln (1+x)$も大きくなりますが、増加は逓減している感じです。

　まぁ、$x>0$のとき

　　$\dfrac{d \ln (1+x)}{d x} = \dfrac{1}{1+x}>0 \quad , \quad \dfrac{d^2 \ln (1+x)}{d x^2} = \; – \; \dfrac{1}{(1+x)^2}<0$

なので、当然と言えば当然です。

　しかし、数字を見ると、$x$が5のとき、$\ln (1+x)$は1.8ぐらいで近似になっていません。

　ここで、$x$の値が小さいときを、図・グラフにしてみましょう。

　下のものは、$x$が0から0.1に変化したときのものですが、かなり直線に近い感じで、$x$が0.1のとき、$\ln (1+x)$も0.1ぐらいになっています。

　このように、$x$の値が小さいときには、$\ln (1 + x) = x$としても、問題がないようです。

　特に、金利といった場合、通常は数%という値をとり、$x$は1よりもちいさいことがほとんどで、もっと言えば、0.1よりも小さい値が多いでしょう。

　なので、$x$の値が小さいときには、$\ln (1 + x) = x$という近似式が用いられます。