連続型確率変数の基本

連続型確率変数

　ある確率変数$X$が実数であるとき、$X$は連続型確率変数（連続確率変数）とされます。

　連続確率変数$X$について、次のような関数$f(x)$が存在するとき

　　$\displaystyle f(x) =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{P(x \leq X \leq x + \Delta x)}{\Delta x}$

　これを、確率密度関数（密度関数）と言います。

　なお、この式から、$f(x)$は非負となります。

　　$\displaystyle f(x) \geq 0$

　確率密度関数により、区間$[a \, , \, b]$に入る確率は、次の通り。

　　$\displaystyle P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$

　ただ、1点の確率は$0$であるので、

　　$\displaystyle P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X < b)$

　そして、全区間における確率は、$1$となります。

　　$\displaystyle P( \; – \; \infty \leq X \leq \infty) = ) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$

　確率変数$X$について、次のように定まる関数

　　$\displaystyle F(x) = P(X \leq x)$

を分布関数（累積分布関数）と言います。

　確率密度関数と分布関数の関係は次の通り。

　　$\displaystyle \dfrac{d F(x)}{d x} = f(x)$

　　$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(x) dx$

　そして、区間$[a \, , \, b]$に入る確率は、次の通り。

　　$\displaystyle P(a < X \leq b) = F(b) \; - \; F(a) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

　確率変数$X$の平均を$\mu$、分散を$\sigma^2$とすると、

　　$\displaystyle \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

　　$\displaystyle \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x \; – \; \mu)^2 f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \; – \; \mu^2$

　　中村隆英『統計入門』