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投稿ミクロ経済学中級

パレート最適の数学的な定義

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パレート最適(パレート効率)について、数学的な定義を書いています。
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はじめに

 経済学において、非常に重要な概念である「パレート最適」(パレート効率)。

 文章で定義すると、

  「ある人の効用を増加させようとしたとき、他の人の効用を減少させてしまう状態」

となります。

 言い方を変えると、

  「他の人の効用を減少させずに、ある人の効用をそれ以上増加させることができない状態」

とされます。

 このパレート最適について、数学的な定義を説明します。

数学的な定義

 $n$財$k$人存在するような経済を考え、$i$財が消費する財の組み合わせを$\textbf{x}^i$や$\textbf{y}^i$とし、効用関数を$u^i(x^i)$とします。

 このとき、パレート支配が定義され、パレート支配がない状態がパレート最適とされます。

パレート支配(パレート優越的)の定義

 $\textbf{y}^i$が$\textbf{x}^i$をパレート支配するとは、

  「$u^i(\textbf{y}^i) \geq u^i(\textbf{x}^i) (i = 1 , \cdots , n)$
   を満たし、かつ少なくとも1個が狭義の不等号で成り立つ」

ことを意味します。

(別表現)
 次の2つの条件を満たすとき、$\textbf{y}^i$が$\textbf{x}^i$をパレート支配します。
 
  「① すべての消費者$i$について、$u^i(\textbf{y}^i) \geq u^i(\textbf{x}^i) (i = 1 , \cdots , n)$が成り立つ
   ② 少なくとも1人の消費者$i$について、$u^i(\textbf{y}^i) > u^i(\textbf{x}^i) (i = 1 , \cdots , n)$が成り立つ」

パレート最適(パレート効率的)の定義

 パレート最適の定義は次のようになります。

  「パレート支配するような配分$\textbf{x}^i$が存在しないとき、その資源配分はパレート最適である」

最後に

 パレート最適の文章による定義も回りくどいですが、厳密な数学的な定義においても、パレート支配の概念を定義して、パレート支配がない状態がパレート最適であるという、少しややこしい論理になっています。

 ただ、経済学においては、重要な概念であることは間違いないので、しっかりと覚えておくことが必要です。

参考

  武隈愼一『ミクロ経済学

  西村和雄『ミクロ経済学

  奥野正寛『ミクロ経済学

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