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確率の基本的な定理まとめ

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投稿経済数学初級
確率論や統計学における確率の基本的な定理などをまとめています。
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確率の公理

 標本空間を$S$とし、ある事象$A$が起こる確率を$P(A)$とする。

  ・$P(A) \geq 0$

  ・$P(S) = 1$

  ・$A \cap B = \emptyset$ならば、$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

定理1

 確率の公理から、次のような性質を有する

  ・$P(A) + P(A^c) = 1$

  ・$A \subset B$ならば、$P(A) \leq P(B)$

  ・$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \; – \; P(A \cap B)$

  ・$P(\emptyset) = 0$

定義

 事象$A$を所与としたときの事象$B$の条件付き確率は、次のように定義できる

  $P(B \, | \, A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

定理2(乗法定理)

 次のような乗法定理(乗法公式)が成り立つ。

  $P(A \cap B) = P(A) P(B \, | \, A) = P(B) P(A \, | \, B)$

 より一般的に、事象が$n$個ある場合には、乗法定理(乗法公式)は次のとおり。

  $P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) P(A_2 | A_1) P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdots P(A_n | A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})$

 ただし、$P(A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}) \neq 0$

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