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投稿マクロ経済学初級

産業連関表の基本モデルを行列で表した場合

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産業連関表の基本モデルについて、行列を用いた場合について、説明します。
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はじめに

 産業連関表においては、行列を用いた計算を説明します。

基本モデル

 n部門の場合を考えます。
 各部門の生産量をx_i ,\ (i = 1, 2, \cdots \, n)、最終需要をf_i ,\ (1, 2, \cdots \, n)、中間需要をx_{ij} ,\ (i,j = 1, 2, \cdots \, n)とします。

 このとき、各部門について、生産量は中間需要と最終需要に等しいので、

  x_1 = x_{11} + x_{12} + \cdots + x_{1n} + f_1
  x_2 = x_{21} + x_{22} + \cdots + x_{2n} + f_2
         \vdots
  x_n = x_{n1} + x_{n2} + \cdots + x_{nn} + f_n

となります。ここで、投入係数a_{ij} ,\ (i,j = 1, 2, \cdots \, n)として、

  a_{ij} = \dfrac{x_ij}{x_i}

と定義すると、上記のn本の式は、

  x_1 = a_{11} x_1 + a_{12} x_1 + \cdots + a_{1n} x_1 + f_1
  x_2 = a_{21} x_2 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_2 + f_2
         \vdots
  x_n = a_{n1} x_n + a_{n2} x_n + \cdots + a_{nn} x_n + f_n

となります。

 ここで、これらの式を行列で表します。

 生産量をn \times 1ベクトル\mathbf{F}とし、最終需要をn \times 1ベクトル\mathbf{F}とします。
 そして、投入係数行列n times n\mathbf{A}とすると、中間需要は\mathbf{AX}となるので、

  \mathbf{AX} + \mathbf{F} = \mathbf{X}

が成り立ちます。

 この式を変形すると、

  \mathbf{X} = (\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{F}

となります。

参考

  宮沢健一『産業連関分析入門

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