産業連関表の基本モデルを行列で表した場合

はじめに

　産業連関表においては、行列を用いた計算を説明します。

基本モデル

　 $n$ 部門の場合を考えます。
　各部門の生産量を $x_i ,\ (i = 1, 2, \cdots \, n)$ 、最終需要を $f_i ,\ (1, 2, \cdots \, n)$ 、中間需要を $x_{ij} ,\ (i,j = 1, 2, \cdots \, n)$ とします。

　このとき、各部門について、生産量は中間需要と最終需要に等しいので、

　　 $x_1 = x_{11} + x_{12} + \cdots + x_{1n} + f_1$
　　 $x_2 = x_{21} + x_{22} + \cdots + x_{2n} + f_2$
　　　　　　　　　 $\vdots$
　　 $x_n = x_{n1} + x_{n2} + \cdots + x_{nn} + f_n$

となります。ここで、投入係数 $a_{ij} ,\ (i,j = 1, 2, \cdots \, n)$ として、

　　 $a_{ij} = \dfrac{x_ij}{x_i}$

と定義すると、上記の $n$ 本の式は、

　　 $x_1 = a_{11} x_1 + a_{12} x_1 + \cdots + a_{1n} x_1 + f_1$
　　 $x_2 = a_{21} x_2 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_2 + f_2$
　　　　　　　　　 $\vdots$
　　 $x_n = a_{n1} x_n + a_{n2} x_n + \cdots + a_{nn} x_n + f_n$

となります。

　ここで、これらの式を行列で表します。

　生産量を $n \times 1$ ベクトル $\mathbf{F}$ とし、最終需要を $n \times 1$ ベクトル $\mathbf{F}$ とします。
　そして、投入係数行列 $n times n$ を $\mathbf{A}$ とすると、中間需要は $\mathbf{AX}$ となるので、