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投稿マクロ経済学初級

産業連関表の基本モデルを行列で表した場合

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産業連関表の基本モデルについて、行列を用いた場合について、説明します。
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はじめに

 産業連関表においては、行列を用いた計算を説明します。

基本モデル

 $ n$部門の場合を考えます。
 各部門の生産量を$ x_i ,\ (i = 1, 2, \cdots \, n)$、最終需要を$ f_i ,\ (1, 2, \cdots \, n)$、中間需要を$ x_{ij} ,\ (i,j = 1, 2, \cdots \, n)$とします。

 このとき、各部門について、生産量は中間需要と最終需要に等しいので、

  $ x_1 = x_{11} + x_{12} + \cdots + x_{1n} + f_1$
  $ x_2 = x_{21} + x_{22} + \cdots + x_{2n} + f_2$
         $ \vdots$
  $ x_n = x_{n1} + x_{n2} + \cdots + x_{nn} + f_n$

となります。ここで、投入係数$ a_{ij} ,\ (i,j = 1, 2, \cdots \, n)$として、

  $ a_{ij} = \dfrac{x_ij}{x_i}$

と定義すると、上記の$ n$本の式は、

  $ x_1 = a_{11} x_1 + a_{12} x_1 + \cdots + a_{1n} x_1 + f_1$
  $ x_2 = a_{21} x_2 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_2 + f_2$
         $ \vdots$
  $ x_n = a_{n1} x_n + a_{n2} x_n + \cdots + a_{nn} x_n + f_n$

となります。

 ここで、これらの式を行列で表します。

 生産量を$ n \times 1$ベクトル$ \mathbf{F}$とし、最終需要を$ n \times 1$ベクトル$ \mathbf{F}$とします。
 そして、投入係数行列$ n times n$を$ \mathbf{A}$とすると、中間需要は$ \mathbf{AX}$となるので、

  $ \mathbf{AX} + \mathbf{F} = \mathbf{X}$

が成り立ちます。

 この式を変形すると、

  $ \mathbf{X} = (\mathbf{I} – \mathbf{A})^{-1} \mathbf{F}$

となります。

参考

  宮沢健一『産業連関分析入門

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