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投稿統計学初級

データの特徴を表す平均値・中央値・モードについて

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データの特徴を表す平均値・中央値・モードについて、まとめています。
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はじめに

 データ・標本について、そのデータの特徴を知りたいと思ったとき、まず思いつくのが、平均値でしょう。
 ただ、平均値にもいくつもの種類があったりもしますし、平均値以外にもそのデータの特徴を知る方法があります。

 そこで、データの特徴を知るための指標として、平均値・中央値・モードについて説明したいと思います。

平均値

 統計学において、最初のほうに出てくるのが、平均値でしょう。
 しかし、算術平均・幾何平均・調和平均というように、平均値と言っても、いくつもの種類があります。

算術平均

 データを合計して、そのデータ数で割ったものを求める方法です。

  $\displaystyle \bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$

 一般的に平均と言えば、この方法でしょう。

 データがある値を中心にして、左右に同じように散らばっているときに適している方法です。
 (逆に言えば、左右への散らばりがなければ、このデータの特徴を知る方法として、この方法はあまり相応しくないと言えます)

幾何平均

 正の値のデータを掛け合わせたものを用いて、そのデータの特徴を知る方法です。

  $\displaystyle \bar{x} = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{1/n}$

 データが右に裾を引くような場合に望ましいされ、複利計算の倍率の平均値を求めるときに使われます。

調和平均

 データ数をデータの逆数の総和で割ったものを平均と考える方法です。

  $\displaystyle \bar{x} = \left. n \middle/ \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right.$

 経済学的にあまり使われることはないと思いますが、このようなものもあります。

中央値(メジアン)

 データを小さいものから大きいものへと並び変えて、その真ん中の値を中央値とするものです。
 ただ、データ数が偶数の場合には、真ん中の数字はないことになるので、データ数が奇数・偶数の場合で、定義が異なってきます。

  奇数 … 並び替えたデータの中央のデータ

  偶数 … 中央の2つのデータの中点

 数式で表すと、データ$x_i$について、大きさ順に並び替えたものを$X_i$とすると、

  $n$が奇数のとき、$\hat{X} = X_{(n+1)/2}$

  $n$が偶数のとき、$\hat{X} = \dfrac{X_{n/2} + X_{n/2+1}}{2}$

となります。

 一般に平均値といった場合、算術平均を求めることが多いと思いますが、データの散らばりに偏りがあるようなときには、このメジアンを使ったほうが、そのデータの特徴を知ることができたりもします。

モード(最頻値)

 一組のデータにおいて、最大の度数(最も数の多い)をもつデータを最頻値とするものです。

 ただ、度数がすべて1の場合には、度数を比較することはできないので、最頻値はありません。
 また、複数のデータの組が同じ度数をもつときには、最頻値は複数になります。

最後に

 それぞれの数値例を見たければ、「平均値・中央値・モードに関する問題」も見てください。

参考

  横山真一郎・関哲朗・横山真弘『基礎と実践 数理統計学入門

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