データの特徴を表す平均値・中央値・モードについて

はじめに

　データ・標本について、そのデータの特徴を知りたいと思ったとき、まず思いつくのが、平均値でしょう。
　ただ、平均値にもいくつもの種類があったりもしますし、平均値以外にもそのデータの特徴を知る方法があります。

　そこで、データの特徴を知るための指標として、平均値・中央値・モードについて説明したいと思います。

　統計学において、最初のほうに出てくるのが、平均値でしょう。
　しかし、算術平均・幾何平均・調和平均というように、平均値と言っても、いくつもの種類があります。

　データを合計して、そのデータ数で割ったものを求める方法です。

　　$\displaystyle \bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$

　一般的に平均と言えば、この方法でしょう。

　データがある値を中心にして、左右に同じように散らばっているときに適している方法です。
　（逆に言えば、左右への散らばりがなければ、このデータの特徴を知る方法として、この方法はあまり相応しくないと言えます）

　正の値のデータを掛け合わせたものを用いて、そのデータの特徴を知る方法です。

　　$\displaystyle \bar{x} = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{1/n}$

　データが右に裾を引くような場合に望ましいされ、複利計算の倍率の平均値を求めるときに使われます。

　データ数をデータの逆数の総和で割ったものを平均と考える方法です。

　　$\displaystyle \bar{x} = \left. n \middle/ \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right.$

　経済学的にあまり使われることはないと思いますが、このようなものもあります。

　データを小さいものから大きいものへと並び変えて、その真ん中の値を中央値とするものです。
　ただ、データ数が偶数の場合には、真ん中の数字はないことになるので、データ数が奇数・偶数の場合で、定義が異なってきます。

　　奇数　…　並び替えたデータの中央のデータ

　　偶数　…　中央の2つのデータの中点

　数式で表すと、データ$x_i$について、大きさ順に並び替えたものを$X_i$とすると、

　　$n$が奇数のとき、$\hat{X} = X_{(n+1)/2}$

　　$n$が偶数のとき、$\hat{X} = \dfrac{X_{n/2} + X_{n/2+1}}{2}$

となります。

　一般に平均値といった場合、算術平均を求めることが多いと思いますが、データの散らばりに偏りがあるようなときには、このメジアンを使ったほうが、そのデータの特徴を知ることができたりもします。

　一組のデータにおいて、最大の度数（最も数の多い）をもつデータを最頻値とするものです。

　ただ、度数がすべて1の場合には、度数を比較することはできないので、最頻値はありません。
　また、複数のデータの組が同じ度数をもつときには、最頻値は複数になります。

　それぞれの数値例を見たければ、「平均値・中央値・モードに関する問題」も見てください。

　　横山真一郎・関哲朗・横山真弘『基礎と実践数理統計学入門』