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【問題１】
確率変数$Z$が正規分布$N(0 \, , \, 1)$に従うものとします。
このとき、次の確率を求めてください。
$P(1.18 \leq Z \leq 1.96)$
【回答１】
$Z$の累積密度関数を$\Phi$とすると
$P(1.18 \leq Z \leq 1.96) = \Phi(1.96) \; – \; \Phi(1.18) = 0.975 \; – \; 0.880 = 0.095$
と計算でき、確率は9.5%となります。
なお、$\Phi(1.96)=0.975$などは、正規分布表で求めたり、エクセルで計算できます。
エクセルで計算するときには、次のような関数を利用します。
NORM.S.DIST(1.96,TRUE)
【問題２】
確率変数$X$が正規分布$N(160 \, , \, 30)$に従うものとします。
このとき、次の確率を求めてください。
$P(145 \leq X \leq 165)$
【回答２】
確率変数$X$について、$Z = (X \; – \; \mu) / \sigma$により標準正規分布に変換できるので、
$P(145 \leq X \leq 165) = P \left( \dfrac{145 \; – \; 160}{\sqrt{30}} \leq Z \leq \dfrac{165 \; – \; 160}{\sqrt{30}} \right) = P \left( – \dfrac{\sqrt{30}}{2} \leq Z \leq \dfrac{\sqrt{30}}{6} \right)$
$= \Phi \left( \dfrac{\sqrt{30}}{6} \right) \; – \; \Phi \left( – \dfrac{\sqrt{30}}{2} \right) = 0.819 \; – \; 0.003 = 0.816$
と計算でき、81.6%となります。
なお、正規分布表を使ってもいいのですが、エクセルを使ったほうが楽なので、問題1と同様に、次のような関数で計算します。
NORM.S.DIST(SQRT(30)/6,TRUE)
また、NORM.S.DISTは標準正規分布における関数ですが、エクセルには正規分布に関する関数もあります。NORMDISTという関数で、次のような形で、値を求めることもできます。
NORMDIST(165,160,SQRT(30),TRUE)