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正規分布における確率を求める問題

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問題統計学初級
統計学において、正規分布における確率を求める問題です。
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※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。

【問題1】
 確率変数$Z$が正規分布$N(0 \, , \, 1)$に従うものとします。
 このとき、次の確率を求めてください。

  $P(1.18 \leq Z \leq 1.96)$

【回答1】 

 $Z$の累積密度関数を$\Phi$とすると

  $P(1.18 \leq Z \leq 1.96) = \Phi(1.96) \; – \; \Phi(1.18) = 0.975 \; – \; 0.880 = 0.095$

と計算でき、確率は9.5%となります。

 なお、$\Phi(1.96)=0.975$などは、正規分布表で求めたり、エクセルで計算できます。

 エクセルで計算するときには、次のような関数を利用します。

NORM.S.DIST(1.96,TRUE)

【問題2】
 確率変数$X$が正規分布$N(160 \, , \, 30)$に従うものとします。
 このとき、次の確率を求めてください。

  $P(145 \leq X \leq 165)$

【回答2】 

 確率変数$X$について、$Z = (X \; – \; \mu) / \sigma$により標準正規分布に変換できるので、

  $P(145 \leq X \leq 165) = P \left( \dfrac{145 \; – \; 160}{\sqrt{30}} \leq Z \leq \dfrac{165 \; – \; 160}{\sqrt{30}} \right) = P \left( – \dfrac{\sqrt{30}}{2} \leq Z \leq \dfrac{\sqrt{30}}{6} \right)$
    $= \Phi \left( \dfrac{\sqrt{30}}{6} \right) \; – \; \Phi \left( – \dfrac{\sqrt{30}}{2} \right) = 0.819 \; – \; 0.003 = 0.816$

と計算でき、81.6%となります。

 なお、正規分布表を使ってもいいのですが、エクセルを使ったほうが楽なので、問題1と同様に、次のような関数で計算します。

NORM.S.DIST(SQRT(30)/6,TRUE)

 また、NORM.S.DISTは標準正規分布における関数ですが、エクセルには正規分布に関する関数もあります。NORMDISTという関数で、次のような形で、値を求めることもできます。

NORMDIST(165,160,SQRT(30),TRUE)
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